Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
(i) V(x, y, z)=2 x^2 imath+x z^2 jmath-ln z k.
(ii) V(x, y, z)=x y^2 imath+2 x z jmath+3 y z k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o divergente de dois campos vetoriais diferentes. Então, o conteúdo aqui é o divergente de um campo vetorial, que é uma medida de como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do divergente para um campo vetorial V(x, y, z) = Vx imath + Vy jmath + Vz k:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Isso significa que a gente precisa derivar cada componente do campo em relação à sua respectiva variável e somar tudo.

Passo 3

Vamos calcular o divergente do primeiro campo vetorial:
V(x, y, z) = 2x^2 imath + x z^2 jmath - ln z k
Primeiro, derivamos cada componente:
  • Para Vx = 2x^2:
partial Vxpartial x = partialpartial x(2x^2) = 4x
  • Para Vy = x z^2:
partial Vypartial y = partialpartial y(x z^2) = 0
Porque não tem y na expressão.
  • Para Vz = -ln z:
partial Vzpartial z = partialpartial z(-ln z) = -1z
Agora, somamos tudo:
nabla cdot V = 4x + 0 - 1z = 4x - 1z

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente do segundo campo vetorial:
V(x, y, z) = x y^2 imath + 2x z jmath + 3y z k
Novamente, derivamos cada componente:
  • Para Vx = x y^2:
partial Vxpartial x = partialpartial x(x y^2) = y^2
  • Para Vy = 2x z:
partial Vypartial y = partialpartial y(2x z) = 0
Porque não tem y na expressão.
  • Para Vz = 3y z:
partial Vzpartial z = partialpartial z(3y z) = 3y
Somando tudo:
nabla cdot V = y^2 + 0 + 3y = y^2 + 3y

Resposta

(i) O divergente de V(x, y, z)=2 x^2 imath+x z^2 jmath-ln z k é 4x - 1z.
(ii) O divergente de V(x, y, z)=x y^2 imath+2 x z jmath+3 y z k é y^2 + 3y.

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