Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos:
(i) f(x)=(x-1x^2)^7 / 2
(ii) f(x)=e^x^3 sin x.
(iii) f(x)=sin (x^-4)
(iv) f(x)=(sin x)^-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de quatro funções diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia, regra do produto e derivadas de funções trigonométricas e exponenciais. Vamos passo a passo para não ficar difícil.

Passo 2

(i) $ f(x) = \left(x - \frac{1}{x{2}}\right){\frac{7}{2}} $
Aqui temos uma função composta: algo elevado a uma potência. Vamos usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções dentro de funções.
  1. Identifique a função externa e a interna:
    • Função externa: $ u^{\frac{7}{2}} $
    • Função interna: $ u = x - \frac{1}{x^{2}} $
  2. Derive a função externa em relação a $ u $:
    • $ \frac{d}{du} u^{\frac{7}{2}} = \frac{7}{2} u^{\frac{5}{2}} $
  3. Derive a função interna em relação a $ x $:
    • $ \frac{d}{dx} \left(x - \frac{1}{x^{2}}\right) = 1 + \frac{2}{x^{3}} $
  4. Aplique a regra da cadeia:
    • $ f’(x) = \frac{7}{2} \left(x - \frac{1}{x{2}}\right){\frac{5}{2}} \left(1 + \frac{2}{x^{3}}\right) $

Passo 3

(ii) $ f(x) = e{x{3} \sin x} $
Aqui temos uma função exponencial com uma função composta no expoente. Vamos usar a regra da cadeia novamente.
  1. Identifique a função externa e a interna:
    • Função externa: $ e^{u} $
    • Função interna: $ u = x^{3} \sin x $
  2. Derive a função externa em relação a $ u $:
    • $ \frac{d}{du} e^{u} = e^{u} $
  3. Derive a função interna em relação a $ x $ usando a regra do produto:
    • $ \frac{d}{dx} (x^{3} \sin x) = 3x^{2} \sin x + x^{3} \cos x $
  4. Aplique a regra da cadeia:
    • $ f’(x) = e{x{3} \sin x} \left(3x^{2} \sin x + x^{3} \cos x\right) $

Passo 4

(iii) $ f(x) = \sin \left(x^{-4}\right) $
Aqui temos a função seno de uma função composta. Vamos usar a regra da cadeia.
  1. Identifique a função externa e a interna:
    • Função externa: $ \sin(u) $
    • Função interna: $ u = x^{-4} $
  2. Derive a função externa em relação a $ u $:
    • $ \frac{d}{du} \sin(u) = \cos(u) $
  3. Derive a função interna em relação a $ x $:
    • $ \frac{d}{dx} x^{-4} = -4x^{-5} $
  4. Aplique a regra da cadeia:
    • $ f’(x) = \cos \left(x^{-4}\right) \cdot (-4x^{-5}) = -4x^{-5} \cos \left(x^{-4}\right) $

Passo 5

(iv) $ f(x) = (\sin x)^{-4} $
Aqui temos uma função trigonométrica elevada a uma potência. Vamos usar a regra da cadeia mais uma vez.
  1. Reescreva a função para facilitar a derivação:
    • $ f(x) = (\sin x)^{-4} = \sin^{-4} x $
  2. Identifique a função externa e a interna:
    • Função externa: $ u^{-4} $
    • Função interna: $ u = \sin x $
  3. Derive a função externa em relação a $ u $:
    • $ \frac{d}{du} u^{-4} = -4u^{-5} $
  4. Derive a função interna em relação a $ x $:
    • $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
  5. Aplique a regra da cadeia:
    • $ f’(x) = -4 (\sin x)^{-5} \cdot \cos x = -4 \cos x \cdot (\sin x)^{-5} $

Resposta

As derivadas das funções são:
(i) $ f’(x) = \dfrac{7}{2} \left(x - \dfrac{1}{x{2}}\right){\frac{5}{2}} \left(1 + \dfrac{2}{x^{3}}\right) $
(ii) $ f’(x) = e{x{3} \sin x} \left(3x^{2} \sin x + x^{3} \cos x\right) $
(iii) $ f’(x) = -4x^{-5} \cos \left(x^{-4}\right) $
(iv) $ f’(x) = -4 \cos x \cdot (\sin x)^{-5} $

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