Calcule a solubilidade molar do acetato de prata a 25^{\circ} \mathrm{C} em:
Solução tamponada em pH igual a 6.
( Dado Kps \_\{\mathrm{AgAc}\}=4 \times 10^{-3} ; \mathrm{K}\_{\mathrm{aHac}}=1,8 \times 10^{-5})

Passo 1

O enunciado pede a solubilidade molar do acetato de prata em uma solução tamponada a pH igual a 6. Dados fornecidos:
K_{sp}(\mathrm{AgAc}) = 4\times10^{-3}, \qquad K_{a,\mathrm{HAc}} = 1,8\times10^{-5}, \qquad \text{pH} = 6.
Informações úteis que extraí do enunciado: a solução está tamponada (logo podemos considerar o [\mathrm{H}^+] constante e igual a 10^{-6}\\ \mathrm{M}), e ao dissolver uma quantidade s de \mathrm{AgAc} forma-se [\mathrm{Ag}^+]=s e uma quantidade total de acetato (em ambas as formas \mathrm{Ac}^- e \mathrm{HAc}) igual a s.

Passo 2

Escrevemos as reações relevantes e as constantes:
Dissolução do sal:
\mathrm{AgAc(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}^+ + \mathrm{Ac}^-
e
K_{sp} = [\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Ac}^-].
Reação ácido/base do ácido acético:
\mathrm{HAc} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{Ac}^-,
com
K_a = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{[\mathrm{HAc}]}.
Expliquei: K_{sp} mede o produto das concentrações dos íons livres vindos do sal; K_a relaciona como o acetato se distribui entre a forma protonada \mathrm{HAc} e a forma livre \mathrm{Ac}^- na presença de [\mathrm{H}^+].

Passo 3

Definimos a solubilidade molar como s\equiv molaridade de \mathrm{Ag}^+ que aparece ao dissolver \mathrm{AgAc}. Então:
[\mathrm{Ag}^+] = s.
A cada mol de sal dissolvido produz-se 1 mol de acetato total, logo a massa de acetato total (somando ambas as formas) é
s = [\mathrm{Ac}^-] + [\mathrm{HAc}].
Da expressão de K_a isolamos [\mathrm{HAc}]:
[\mathrm{HAc}] = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{K_a}.

Passo 4

Substituímos [\mathrm{HAc}] na equação de massa para relacionar s e [\mathrm{Ac}^-]:
s = [\mathrm{Ac}^-] + \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{K_a} = [\mathrm{Ac}^-]\left(1+\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}\right).
Isolando [\mathrm{Ac}^-]:
[\mathrm{Ac}^-] = \frac{s}{1+\dfrac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}}.
Agora voltamos ao K_{sp}:
K_{sp} = [\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Ac}^-] = s\cdot[\mathrm{Ac}^-] = s\cdot\frac{s}{1+\dfrac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}} = \frac{s^2}{1+\dfrac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}}.
Isolando s obtemos a expressão final:
s = \sqrt{K_{sp}\left(1+\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}\right)}.
Aqui expliquei: a presença de [\mathrm{H}^+] faz com que parte do acetato formado seja protonado em \mathrm{HAc}, reduzindo a concentração de \mathrm{Ac}^- livre; isso aumenta a solubilidade aparente do sal (comparado com solução neutra) porque para manter o produto iônico o sal precisa dissolver mais para fornecer \mathrm{Ac}^- livre.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro [\mathrm{H}^+] a partir do pH:
[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}} = 10^{-6}\\ \mathrm{M}.
Calculamos a razão:
\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a} = \frac{10^{-6}}{1,8\times10^{-5}} \approx 0,05556.
Portanto
1+\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a} \approx 1,05556.
Multiplicando por K_{sp}:
K_{sp}\left(1+\frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}\right) \approx 4\times10^{-3}\times1,05556 \approx 4,2222\times10^{-3}.

Passo 6

Tiramos a raiz quadrada para achar s:
s = \sqrt{4,2222\times10^{-3}}\approx 6,4986\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos temos s\approx6,50\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Observação final (assunções): desprezamos coeficientes de atividade (tratamos concentrações como ideais) e assumimos que não há outra fonte significativa de \mathrm{Ac}^- no tampão além do que provém da dissolução do sal (o enunciado só dá pH, não a concentração do tampão); se o tampão contivesse acetato em concentração significativa, haveria efeito comum e a solubilidade seria diferente (menor).

Resposta

s\approx6,50\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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