Calcule a solubilidade molar de:
\mathrm{BiI}_{3}\left(\mathbf{K}_{\mathbf{p s}}=\mathbf{7 , 7 1 . 1 0}{ }^{-\mathbf{1 9}}\right) \quad \mathbf{B i I}_{\mathbf{3}}(\mathbf{s}) \rightleftarrows \mathbf{B i}^{\mathbf{3} \boldsymbol{+}}(\mathbf{a q})+\mathbf{I}^{-}(\mathbf{a q})

Passo 1

O enunciado fornece a reação de dissolução e o produto de solubilidade (Kps). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Reação: \mathrm{BiI}_{3}(s) \rightleftarrows \mathrm{Bi}^{3+}(aq) + 3\,\mathrm{I}^{-}(aq).
  • Constante de solubilidade: K_{ps}=7,71\times10^{-19}. (Peguei este valor do enunciado.)
  • O que pede: calcular a solubilidade molar da sal \mathrm{BiI}_{3}, ou seja a concentração molar de \mathrm{Bi}^{3+} dissolvida em água numa solução saturada — normalmente indicada por s em mol·L ^{-1}.

Passo 2

Definir a solubilidade e as concentrações em função de s.
  • Seja s a solubilidade molar de \mathrm{BiI}_{3} em mol·L ^{-1}. Ao dissolver 1 mol de \mathrm{BiI}_{3}, formam-se 1 mol de \mathrm{Bi}^{3+} e 3 mol de \mathrm{I}^{-}. Portanto, em equilíbrio:
[\mathrm{Bi}^{3+}]=s, \qquad [\mathrm{I}^{-}]=3s.

Passo 3

Escrever a expressão de K_{ps} em função de s.
  • A definição do produto de solubilidade para a reação é:
K_{ps}=[\mathrm{Bi}^{3+}]\,[\mathrm{I}^{-}]^{3}.
  • Substituindo as concentrações em função de s:
K_{ps}=s\cdot(3s)^{3}=s\cdot27s^{3}=27s^{4}.

Passo 4

Isolar s da expressão K_{ps}=27s^{4}.
  • Resolver para s:
s=\left(\dfrac{K_{ps}}{27}\right)^{1/4}.

Passo 5

Substituir o valor numérico de K_{ps} e simplificar a potência de dez separadamente.
  • Substituindo K_{ps}=7,71\times10^{-19}:
\dfrac{K_{ps}}{27}=\dfrac{7,71\times10^{-19}}{27}=2,8556\ldots\times10^{-20}.
(Arredondei para quatro casas significativas em 2,8556\times10^{-20}.)
  • Então:
s=\left(2,8556\times10^{-20}\right)^{1/4}.
  • Para facilitar o cálculo manual, separamos a base numérica da potência de dez:
s=(2,8556)^{1/4}\times10^{-20/4}=(2,8556)^{1/4}\times10^{-5}.

Passo 6

Calcular (2,8556)^{1/4} por radiciação dupla (duas raízes quadradas), método prático sem calculadora.
  • Primeiro calcular \sqrt{2,8556}. Uma aproximação razoável:
\sqrt{2,8556}\approx1,689.
  • Em seguida, tirar a raiz quadrada desse resultado para obter a quarta raiz:
\sqrt{1,689}\approx1,300.
  • Logo:
(2,8556)^{1/4}\approx1,300.
  • Portanto:
s\approx1,300\times10^{-5}=1,30\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza (sanity check).
  • Se s\approx1{,}3\times10^{-5}, então [\mathrm{I}^{-}]=3s\approx3{,}9\times10^{-5}.
  • Calcular K_{ps} estimado: [\mathrm{Bi}^{3+}][\mathrm{I}^{-}]^{3}\approx(1{,}3\times10^{-5})\cdot(3{,}9\times10^{-5})^{3}.
  • A ordem de magnitude será \sim10^{-5}\times(10^{-5})^{3}=10^{-20}, consistente com K_{ps}=7,71\times10^{-19} quando a constante multiplicativa (27) é considerada — portanto o valor faz sentido.

Resposta

s\approx1,30\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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