1. Calcule o pH de uma solução 0,200 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} em NH 3 e 0,300 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{em} \mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}. Do Apêndice 3 obtemos que a constante de dissociação ácida \mathrm{Ka}_{\text {para }} \mathrm{NH}_{4}{ }^{+}é 5,70 \times 10^{-10}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o pH de uma solução que contém as seguintes espécies em equilíbrio: \mathrm{NH_3} e \mathrm{NH_4^+} (proveniente de \mathrm{NH_4Cl}). Dados do enunciado:
[\mathrm{NH_3}]_{\text{inicial}} = 0{,}200\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},
[\mathrm{NH_4^+}]_{\text{inicial}} = 0{,}300\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},
e a constante de dissociação ácida do íon amônio é
\mathrm{Ka}(\mathrm{NH_4^+}) = 5{,}70\times 10^{-10}.
A pergunta é: qual o valor do pH dessa solução?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e derivação).\n
O íon amônio \mathrm{NH_4^+} pode doar um próton segundo a reação
\mathrm{NH_4^+} \rightleftharpoons \mathrm{NH_3} + \mathrm{H^+}.
A constante de dissociação ácida \mathrm{Ka} é definida por
\mathrm{Ka} = \frac{[\mathrm{NH_3}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{NH_4^+}]}.
Aqui:
  • [\mathrm{NH_3}] é a concentração molar da base conjugada (amônia),
  • [\mathrm{NH_4^+}] é a concentração molar do ácido conjugado (íon amônio),
  • [\mathrm{H^+}] é a concentração de íons hidrogênio.\n
    Rearranjando a expressão para [\mathrm{H^+}] obtemos
[\mathrm{H^+}] = \mathrm{Ka}\cdot\frac{[\mathrm{NH_4^+}]}{[\mathrm{NH_3}]}.
Agora, tomando -\log_{10} dos dois lados e lembrando que \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}] e \mathrm{p}K_a = -\log_{10}\mathrm{Ka}, chegamos à famosa equação de Henderson–Hasselbalch para esse par ácido/ base:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\!\left(\frac{[\mathrm{NH_3}]}{[\mathrm{NH_4^+}]}\right).
Explicando a fórmula: ela diz que o pH do tampão é o pKa do ácido mais o logaritmo da razão entre a base conjugada e o ácido conjugado. Essa fórmula é válida quando as concentrações utilizadas são as concentrações efetivas em solução; em tampões, a alteração das concentrações por ionização é pequena, então usamos as concentrações iniciais como boa aproximação.

Passo 3

Calcular \mathrm{p}K_a a partir de \mathrm{Ka}.\n
Usamos a definição \mathrm{p}K_a = -\log_{10}(\mathrm{Ka}). Substituindo o valor dado:
\mathrm{p}K_a = -\log_{10}\!\left(5{,}70\times 10^{-10}\right).
Para calcular, separamos o produto:
\log_{10}\!\left(5{,}70\times 10^{-10}\right) = \log_{10}(5{,}70) + \log_{10}\!\left(10^{-10}\right) = \log_{10}(5{,}70) - 10.
Sabendo \log_{10}(5{,}70)\approx 0{,}75587, obtemos
\log_{10}\!\left(5{,}70\times 10^{-10}\right) \approx 0{,}75587 - 10 = -9{,}24413.
Portanto
\mathrm{p}K_a = -(-9{,}24413) = 9{,}24413 \approx 9{,}244.

Passo 4

Aplicar a equação de Henderson–Hasselbalch usando as concentrações dadas.\n
A equação é
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\!\left(\frac{[\mathrm{NH_3}]}{[\mathrm{NH_4^+}]}\right).
Substituindo \mathrm{p}K_a e as concentrações iniciais [\mathrm{NH_3}]=0{,}200 e [\mathrm{NH_4^+}]=0{,}300:
\mathrm{pH} = 9{,}24413 + \log_{10}\!\left(\frac{0{,}200}{0{,}300}\right).
Calculamos a razão:
\frac{0{,}200}{0{,}300} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6666667,
e
\log_{10}\!\left(\frac{2}{3}\right) = \log_{10}(2) - \log_{10}(3) \approx 0{,}30103 - 0{,}47712 = -0{,}17609.
Assim
\mathrm{pH} \approx 9{,}24413 - 0{,}17609 = 9{,}06804.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para ver que dá o mesmo):\n
Usando a expressão direta [\mathrm{H^+}] = \mathrm{Ka}\cdot\frac{[\mathrm{NH_4^+}]}{[\mathrm{NH_3}]},
[\mathrm{H^+}] \approx 5{,}70\times 10^{-10}\cdot\frac{0{,}300}{0{,}200} = 5{,}70\times 10^{-10}\cdot 1{,}5 = 8{,}55\times 10^{-10}.
Então
\mathrm{pH} = -\log_{10}(8{,}55\times 10^{-10}) \approx 9{,}068,
que coincide com o resultado obtido por Henderson–Hasselbalch.\n
Comentário sobre aproximações: como \mathrm{Ka} é muito pequeno, a ionização é muito pequena e usar as concentrações iniciais é válido. O resultado acima confirma que a aproximação é consistente.

Resposta

9{,}07

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