Calcule a solução de cada problema de valor inicial abaixo:
x y^{\prime}+y=e^{-x^{2} / 2}, x>0, y(2)=-3.

Passo 1

Enunciado e dados: temos a equação diferencial e a condição inicial
x\,y'(x)+y(x)=e^{-x^{2}/2},\qquad x>0,
y(2)=-3.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x>0 e que passa pelo ponto (2,-3). Dados relevantes: o coeficiente de y' é x (não nulo para x>0), a condição inicial está em x=2>0. A solução deve ser válida no intervalo onde x>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão de primeira ordem. Dividimos tudo por x (permitido porque x>0):
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=\frac{1}{x}e^{-x^{2}/2}.
Aqui reconhecemos a forma
y'+p(x)y=q(x),
com p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=\dfrac{1}{x}e^{-x^{2}/2}. Vou explicar o método de fator integrante: para uma equação y'+p(x)y=q(x) definimos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos o lado esquerdo como derivada do produto \mu(x)y(x).

Passo 3

Calcular o fator integrante. Como p(x)=\dfrac{1}{x},
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Como trabalhamos com x>0 temos \ln|x|=\ln x, então
\mu(x)=e^{\ln x}=x.
Observação: o fato de x>0 evita problemas com valor absoluto e garante \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x. A equação em forma padrão multiplicada fica
x\bigl(y'+\tfrac{1}{x}y\bigr)=x\cdot\frac{1}{x}e^{-x^{2}/2},
ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y(x)\bigr)=e^{-x^{2}/2}.
Explicação: isso ocorre porque \frac{d}{dx}(x y)=x y'+1\cdot y.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
x\,y(x)=\int e^{-x^{2}/2}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int e^{-x^{2}/2}\,dx. Essa integral não tem primitiva elementar expressa por funções racionais, exponenciais, logaritmos e trigonométricas, mas é expressa em termos da função erro \operatorname{erf}. Definição útil:
\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u} e^{-t^{2}}\,dt.
Usando essa definição e mudança de variável t=\dfrac{s}{\sqrt{2}} obtém-se a primitiva
\int e^{-x^{2}/2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)+\text{const}.
(Verificação rápida: derivando o lado direito dá e^{-x^{2}/2}.)

Passo 6

Usando a primitiva acima escrevemos a solução geral:
x\,y(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)+C,
portanto
y(x)=\frac{1}{x}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)+C\right).

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(2)=-3. Substituindo x=2 na expressão:
-3=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\Big(\frac{2}{\sqrt{2}}\Big)+C\right).
Note que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. Isolando C:
\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\big(\sqrt{2}\big)+C=-6,
C=-6-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\big(\sqrt{2}\big).

Passo 8

Substituir C na solução geral e simplificar:
y(x)=\frac{1}{x}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\Big(\frac{x}{\sqrt{2}}\Big)-6-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\operatorname{erf}\!\big(\sqrt{2}\big)\right).
Podemos reescrever de forma mais clara:
y(x)=-\frac{6}{x}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\frac{\operatorname{erf}\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)-\operatorname{erf}\!\big(\sqrt{2}\big)}{x}.

Resposta

y(x)=-\frac{6}{x}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\frac{\operatorname{erf}\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)-\operatorname{erf}\!\big(\sqrt{2}\big)}{x}

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