Calcule a solução de cada problema de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Enunciado e dados: temos a equação diferencial e a condição inicial
O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
e que passa pelo ponto
. Dados relevantes: o coeficiente de
é
(não nulo para
), a condição inicial está em
. A solução deve ser válida no intervalo onde
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão de primeira ordem. Dividimos tudo por
(permitido porque
):
Aqui reconhecemos a forma
com
e
. Vou explicar o método de fator integrante: para uma equação
definimos o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos o lado esquerdo como derivada do produto
.
Passo 3
Calcular o fator integrante. Como
,
Como trabalhamos com
temos
, então
Observação: o fato de
evita problemas com valor absoluto e garante
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. A equação em forma padrão multiplicada fica
ou seja
Explicação: isso ocorre porque
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
. Essa integral não tem primitiva elementar expressa por funções racionais, exponenciais, logaritmos e trigonométricas, mas é expressa em termos da função erro
. Definição útil:
Usando essa definição e mudança de variável
obtém-se a primitiva
(Verificação rápida: derivando o lado direito dá
.)
Passo 6
Usando a primitiva acima escrevemos a solução geral:
portanto
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na expressão:
Note que
. Isolando
:
Passo 8
Substituir
na solução geral e simplificar:
Podemos reescrever de forma mais clara: