\int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \int\left(2 x^{2}-3\right)^{2} dx.
Informações dadas: a expressão dentro da integral é o quadrado do binómio \left(2 x^{2}-3\right). O resultado deve ser uma primitiva dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=(2x^2-3)^2, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o quadrado do binómio para ficar com um polinómio mais simples de integrar. Lembre a fórmula
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a=2x^{2} e b=3. Aplicando a fórmula:
(2x^{2}-3)^{2}=(2x^{2})^{2}-2\cdot(2x^{2})\cdot 3+3^{2}.

Passo 3

Calcule cada termo da expansão com cuidado:
(2x^{2})^{2}=4x^{4},
-2\cdot(2x^{2})\cdot 3=-12x^{2},
3^{2}=9.
Portanto a integranda fica
(2x^{2}-3)^{2}=4x^{4}-12x^{2}+9.

Passo 4

Agora usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int(4x^{4}-12x^{2}+9)\,dx=\int 4x^{4}\,dx-\int 12x^{2}\,dx+\int 9\,dx.

Passo 5

Usamos a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também usamos que \int k\cdot f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx para constante k.
Integral do primeiro termo:
\int 4x^{4}\,dx=4\int x^{4}\,dx=4\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{4}{5}x^{5}.
Integral do segundo termo:
\int 12x^{2}\,dx=12\int x^{2}\,dx=12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3}.
Como o sinal é negativo, temos -\int 12x^{2}\,dx=-4x^{3}.
Integral do terceiro termo:
\int 9\,dx=9x.

Passo 6

Juntando as primitivas dos termos:
\int(2x^{2}-3)^{2}\,dx=\frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C\right)=4x^{4}-12x^{2}+9,
e isso é exatamente a expansão de (2x^{2}-3)^{2}, logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}x^{5}-4x^{3}+9x+C

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