Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a expressão dentro da integral é o quadrado do binómio . O resultado deve ser uma primitiva dessa função, ou seja, uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Informações dadas: a expressão dentro da integral é o quadrado do binómio
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o quadrado do binómio para ficar com um polinómio mais simples de integrar. Lembre a fórmula
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 3
Calcule cada termo da expansão com cuidado:
Portanto a integranda fica
Passo 4
Agora usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
Passo 5
Usamos a regra do poder para integrais: para
,
Também usamos que
para constante
.
Integral do primeiro termo:
Integral do segundo termo:
Como o sinal é negativo, temos
.
Integral do terceiro termo:
Passo 6
Juntando as primitivas dos termos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta obtemos
e isso é exatamente a expansão de
, logo a primitiva está correta.