Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a solução geral dessa equação diferencial.
Informações relevantes: a equação é de primeira ordem e linear em ; os coeficientes dependem somente de
. Não há condições iniciais, então devemos encontrar a família de soluções com constante arbitrária.
Informações relevantes: a equação é de primeira ordem e linear em
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
. Dividindo ambos os lados por
(que é sempre positivo, então podemos dividir sem problema), obtemos
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Explico a técnica do fator integrante (mu): para uma equação linear de primeira ordem na forma
definimos o fator integrante
por
A ideia é que, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Depois integramos ambos os lados para obter
e, então,
. Vou aplicar isso aqui com
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
Para integrar
uso a substituição
, então
e
. Portanto
Voltando a
,
Assim
(Usei
.)
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Temos
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de
, então
Aqui simplifiquei o lado direito:
.
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Para a integral do lado direito uso novamente
, com
. Assim
Integrando
:
Voltando a
, obtemos
Passo 7
Isolar
: multiplicando por
,
Aqui
é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Essa é a solução geral.
Passo 8
Breche verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule
. Então
o que corresponde ao lado direito da equação original, confirmando a solução.