Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
\left(3 x^{2}+1\right) y^{\prime}-2 x y=6 x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3x^{2}+1)y'-2xy=6x
e pede: determinar a solução geral dessa equação diferencial.
Informações relevantes: a equação é de primeira ordem e linear em y; os coeficientes dependem somente de x. Não há condições iniciais, então devemos encontrar a família de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo ambos os lados por 3x^{2}+1 (que é sempre positivo, então podemos dividir sem problema), obtemos
y' - \frac{2x}{3x^{2}+1}\,y = \frac{6x}{3x^{2}+1}.
Aqui identificamos P(x) = -\dfrac{2x}{3x^{2}+1} e Q(x)=\dfrac{6x}{3x^{2}+1}.

Passo 3

Explico a técnica do fator integrante (mu): para uma equação linear de primeira ordem na forma
y' + P(x)y = Q(x),
definimos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
A ideia é que, multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
Depois integramos ambos os lados para obter \mu y e, então, y. Vou aplicar isso aqui com P(x)=-\dfrac{2x}{3x^{2}+1}.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx\right).
Para integrar \displaystyle \int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx uso a substituição u=3x^{2}+1, então du=6x\,dx e x\,dx=\dfrac{du}{6}. Portanto
\int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx = -2\int \frac{x\,dx}{3x^{2}+1} = -2\int \frac{1}{6}\frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\ln|u| + C.
Voltando a x,
\int -\frac{2x}{3x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{3}\ln(3x^{2}+1) + C.
Assim
\mu(x)=\exp\!\Big(-\tfrac{1}{3}\ln(3x^{2}+1)\Big)=(3x^{2}+1)^{-1/3}.
(Usei \exp(a\ln b)=b^{a}.)

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x). Temos
(3x^{2}+1)^{-1/3}y' - \frac{2x}{3x^{2}+1}(3x^{2}+1)^{-1/3}y = \frac{6x}{3x^{2}+1}(3x^{2}+1)^{-1/3}.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de (3x^{2}+1)^{-1/3}y, então
\frac{d}{dx}\Big((3x^{2}+1)^{-1/3}y\Big) = 6x(3x^{2}+1)^{-4/3}.
Aqui simplifiquei o lado direito: \dfrac{6x}{3x^{2}+1}\cdot(3x^{2}+1)^{-1/3}=6x(3x^{2}+1)^{-4/3}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
(3x^{2}+1)^{-1/3}y = \int 6x(3x^{2}+1)^{-4/3}\,dx + C.
Para a integral do lado direito uso novamente u=3x^{2}+1, com du=6x\,dx. Assim
\int 6x(3x^{2}+1)^{-4/3}\,dx = \int u^{-4/3}\,du.
Integrando u^{-4/3}:
\int u^{-4/3}\,du = \frac{u^{-1/3}}{-1/3} = -3u^{-1/3}.
Voltando a x, obtemos
(3x^{2}+1)^{-1/3}y = -3(3x^{2}+1)^{-1/3} + C.

Passo 7

Isolar y: multiplicando por (3x^{2}+1)^{1/3},
y = -3 + C(3x^{2}+1)^{1/3}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Essa é a solução geral.

Passo 8

Breche verificação rápida (pra ficar tranquilo): calcule y' = C\cdot\frac{1}{3}(3x^{2}+1)^{-2/3}\cdot 6x = C\cdot 2x(3x^{2}+1)^{-2/3}. Então
(3x^{2}+1)y' - 2xy = C\cdot 2x(3x^{2}+1)^{1/3} - 2x\big(C(3x^{2}+1)^{1/3}-3\big) = 6x,
o que corresponde ao lado direito da equação original, confirmando a solução.

Resposta

y(x) = -3 + C(3x^{2}+1)^{1/3}

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