Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' + 5 x y' + 4 y = 0 Res.: y = c1 * x^(-2) + c2 * x^(-2) * ln(x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de Cauchy-Euler, que é útil para equações com coeficientes polinomiais. Para resolvê-la, precisamos encontrar soluções da forma , onde é um número que determinaremos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução é . Então, calculamos as derivadas:

Passo 3

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Fatoramos e igualamos a equação a zero:
Como nunca é zero, resolvemos a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla .

Passo 6

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Resposta

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