Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' + x y' = x Res.: y = c1 - ln(x) + (1/4) x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações lineares e conhecer um pouco sobre equações homogêneas e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão dividindo tudo por :
Isso facilita identificar os coeficientes da equação.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma .

Passo 4

Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , temos , ou seja, .

Passo 5

Então, a solução da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa. Observando o lado direito , tentamos uma solução do tipo , já que a derivada de simplifica a equação.

Passo 7

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos tentar .

Passo 8

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Para que isso seja válido, igualamos os coeficientes:
Como estamos buscando uma solução particular, escolhemos .

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Juntando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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