Seja sigma'(t) = t^2 i + 1/(t - 2) j e dado sigma(3) = 2i - 5j. Encontre sigma(t).

Passo 1

Então, a gente tem uma função vetorial derivada, que é , e nos foi dado o valor de . O objetivo aqui é encontrar a função original . Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral para integrar cada componente da derivada e depois usar a condição inicial para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção de . A derivada dessa componente é , então a integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção de . A derivada dessa componente é , então a integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 4

Agora, juntamos as duas componentes integradas para escrever a função :

Passo 5

Para encontrar as constantes e , usamos a condição inicial . Vamos substituir na função :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a função é:

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