Calcule a solução geral do oscilador forçado com amortecimento fraco (com força externa dada por F(t)=F0 cos omega t ).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede: temos um oscilador massa-mola-amortecedor fraco, sujeito a uma força externa m,ddot x + c,dot x + k,x = F0cosomega t . Precisamos achar a solução geral da equação
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico. Para resolver, vamos usar o método padrão: 1) achar a solução homogênea (sem a força externa) e 2) achar uma particular para a força, depois somar as duas.

Passo 2

Solução homogênea
  1. Primeiro definimos os parâmetros clássicos:
beta = c2m, omega0 = raizkm
  1. A equação homogênea é
ddot x + 2beta,dot x + omega0^2,x=0
  1. Como é amortecimento fraco ( r = -beta pm i,omega1, omega1 = raizomega0^2-beta^2 ), as raízes do polinômio característico são complexas:
xh(t) = e^-beta t(Acos(omega1 t)+Bsin(omega1 t)),
  1. Logo, a parte homogênea é
com e constantes de integração que dependem das condições iniciais.

Passo 3

Solução particular
  1. Para a força xp(t)=Xcos(omega t-varphi) , buscamos uma solução do tipo
X = F0/mraiz(omega0^2-omega^2)^2+(2betaomega)^2, tanvarphi = 2betaomegaomega0^2-omega^2
  1. Substituindo em e usando identidades trigonométricas, encontramos a amplitude e a fase:
Isso vem de igualar coeficientes de e na equação.

Passo 4

Combinação das soluções
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^-beta t(Acos(omega1 t)+Bsin(omega1 t)) + Xcos(omega t-varphi)
Aqui e vêm das condições iniciais, e são os valores que achamos acima.

Resposta

boxed x(t) = e^-beta t(Acos(omega1 t)+Bsin(omega1 t)) + tfracF0mraiz(omega0^2-omega^2)^2+(2betaomega)^2 cosl(omega t - varphir),
com
beta=c2m, omega0=raizkm, omega1=raizomega0^2-beta^2, tanvarphi=2betaomegaomega0^2-omega^2

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