Calcule a solução geral do oscilador forçado com amortecimento fraco (com força externa dada por
).
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede: temos um oscilador massa-mola-amortecedor fraco, sujeito a uma força externa
. Precisamos achar a solução geral da equação
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico. Para resolver, vamos usar o método padrão: 1) achar a solução homogênea (sem a força externa) e 2) achar uma particular para a força, depois somar as duas.
Passo 2
Solução homogênea
- Primeiro definimos os parâmetros clássicos:
- A equação homogênea é
- Como é amortecimento fraco (
), as raízes do polinômio característico são complexas:
- Logo, a parte homogênea é
com
e
constantes de integração que dependem das condições iniciais.
Passo 3
Solução particular
- Para a força
, buscamos uma solução do tipo
- Substituindo em
e usando identidades trigonométricas, encontramos a amplitude e a fase:
Isso vem de igualar coeficientes de
e
na equação.
Passo 4
Combinação das soluções
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Aqui
e
vêm das condições iniciais, e
são os valores que achamos acima.
Resposta
com