A roda consiste em um aro fino de massa 11,6 kg e quatro raios formados por hastes delgadas de comprimento R=404 mm e de massa 2,56 kg cada. Calcule o momento de inércia da roda em relação ao eixo passando perpendicular ao plano da página pelo ponto A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda composta por um aro fino e quatro raios. O aro tem uma massa de 11,6,kg e cada raio tem um comprimento de R = 404,mm e uma massa de 2,56,kg. Precisamos calcular o momento de inércia dessa roda em relação a um eixo que passa perpendicularmente ao plano da página pelo ponto A. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia de objetos compostos.

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia do aro. Como o aro é fino e sua massa está distribuída uniformemente a uma distância R do eixo, o momento de inércia do aro é dado por:
Iaro = maro cdot R^2
onde maro = 11,6,kg e R = 0,404,m (convertendo milímetros para metros).

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de um raio. Cada raio pode ser modelado como uma haste fina girando em torno de uma extremidade. O momento de inércia de uma haste fina de comprimento L e massa m girando em torno de uma extremidade é:
Iraio = 13 mraio cdot R^2
Aqui, mraio = 2,56,kg e R = 0,404,m.

Passo 4

Como temos quatro raios, o momento de inércia total dos raios será quatro vezes o momento de inércia de um único raio:
Iraios,total = 4 cdot Iraio = 4 cdot ( 13 mraio cdot R^2 ) = 43 mraio cdot R^2

Passo 5

Agora, somamos os momentos de inércia do aro e dos quatro raios para obter o momento de inércia total da roda:
Itotal = Iaro + Iraios,total = maro cdot R^2 + 43 mraio cdot R^2

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
Itotal = 11,6 cdot (0,404)^2 + 43 cdot 2,56 cdot (0,404)^2

Passo 7

Calculando cada parte:
  • Primeiro termo:
11,6 cdot (0,404)^2 = 11,6 cdot 0,1632 approx 1,8915,kg cdot m^2
  • Segundo termo:
43 cdot 2,56 cdot (0,404)^2 = 43 cdot 2,56 cdot 0,1632 approx 0,5578,kg cdot m^2

Passo 8

Somando os dois termos:
Itotal approx 1,8915 + 0,5578 = 2,4493,kg cdot m^2

Resposta

O momento de inércia da roda em relação ao eixo pelo ponto A é aproximadamente 2,45,kg cdot m^2.

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