A roda consiste em um aro fino de massa
e quatro raios formados por hastes delgadas de comprimento
e de massa
cada. Calcule o momento de inércia da roda em relação ao eixo passando perpendicular ao plano da página pelo ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda composta por um aro fino e quatro raios. O aro tem uma massa de
e cada raio tem um comprimento de
e uma massa de
. Precisamos calcular o momento de inércia dessa roda em relação a um eixo que passa perpendicularmente ao plano da página pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia de objetos compostos.
Passo 2
Vamos começar calculando o momento de inércia do aro. Como o aro é fino e sua massa está distribuída uniformemente a uma distância
do eixo, o momento de inércia do aro é dado por:
onde
e
(convertendo milímetros para metros).
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia de um raio. Cada raio pode ser modelado como uma haste fina girando em torno de uma extremidade. O momento de inércia de uma haste fina de comprimento
e massa
girando em torno de uma extremidade é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Como temos quatro raios, o momento de inércia total dos raios será quatro vezes o momento de inércia de um único raio:
Passo 5
Agora, somamos os momentos de inércia do aro e dos quatro raios para obter o momento de inércia total da roda:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
Passo 7
Calculando cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 8
Somando os dois termos:
Resposta
O momento de inércia da roda em relação ao eixo pelo ponto
é aproximadamente
.