Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Esse problema faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usaremos o método da equação característica para resolver.
Passo 2
A ideia é supor uma solução do tipo
, pois para EDOs lineares com coeficientes constantes essa forma transforma derivadas em fatores de
. Substituindo em
obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
: o discriminante é
Logo as raízes são
que resulta em
e
.
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam definidas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral é