Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 3y' + 2y = 0
Esse problema faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usaremos o método da equação característica para resolver.

Passo 2

A ideia é supor uma solução do tipo y(x)=e^{\lambda x}, pois para EDOs lineares com coeficientes constantes essa forma transforma derivadas em fatores de \lambda. Substituindo em y'' + 3y' + 2y = 0 obtemos a equação característica:
\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0: o discriminante é
\Delta = 3^2 - 4\cdot1\cdot2 = 9 - 8 = 1.
Logo as raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2},
que resulta em \lambda_1 = -1 e \lambda_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes \lambda_1 e \lambda_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que seriam definidas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

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