As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
x-2, x+2 em -2<x<2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f_{1}(x)=x-2 \quad\text{e}\quad f_{2}(x)=x+2
são linearmente independentes no intervalo (-2,2). Vamos usar (1) a definição de independência linear em espaços de funções e (2) o teste do Wronskiano.

Passo 2

Pela definição, f_{1} e f_{2} são linearmente independentes se a única solução do polinômio
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)=0
para todo x\in(-2,2) é c_{1}=c_{2}=0. Substituindo as expressões:
c_{1}(x-2)+c_{2}(x+2)=0.

Passo 3

Agrupando termos semelhantes obtemos
(c_{1}+c_{2})\,x+(-2c_{1}+2c_{2})=0.
Para esta igualdade valer para todo x\), os coeficientes devem se anular, gerando o sistema \[\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[6pt] -2c_{1}+2c_{2}=0. \end{cases}
Da primeira equação (c_{2}=-c_{1}]. Substituindo na segunda:
-2c_{1}+2(-c_{1})=-4c_{1}=0 \;\implies\;c_{1}=0 \;\implies\;c_{2}=0.
Como só surge a solução trivial, concluímos pela definição que são linearmente independentes.]

Passo 4

Como verificação adicional, calculamos o Wronskiano
W(f_{1},f_{2})(x) =\begin{vmatrix} f_{1}(x)&f_{2}(x)\\\ f_{1}'(x)&f_{2}'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-2 & x+2\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =(x-2)\cdot1-(x+2)\cdot1=-4\neq0.
Um Wronskiano não nulo em todo o intervalo implica independência linear.

Resposta

Sim, as funções x-2 e x+2 são linearmente independentes em (-2,2).

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