As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado? x-2, x+2 em -2<x<2
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
f_{1}(x)=x-2 \quad\text{e}\quad f_{2}(x)=x+2
são linearmente independentes no intervalo (-2,2). Vamos usar (1) a definição de independência linear em espaços de funções e (2) o teste do Wronskiano.
Passo 2
Pela definição, f_{1} e f_{2} são linearmente independentes se a única solução do polinômio
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)=0
para todo x\in(-2,2) é c_{1}=c_{2}=0. Substituindo as expressões:
c_{1}(x-2)+c_{2}(x+2)=0.
Passo 3
Agrupando termos semelhantes obtemos
(c_{1}+c_{2})\,x+(-2c_{1}+2c_{2})=0.
Para esta igualdade valer para todo x\), os coeficientes devem se anular, gerando o sistema
\[\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[6pt] -2c_{1}+2c_{2}=0. \end{cases}
Da primeira equação (c_{2}=-c_{1}]. Substituindo na segunda: -2c_{1}+2(-c_{1})=-4c_{1}=0 \;\implies\;c_{1}=0 \;\implies\;c_{2}=0.
Como só surge a solução trivial, concluímos pela definição que são linearmente independentes.]
Passo 4
Como verificação adicional, calculamos o Wronskiano