Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de coeficientes constantes
y'' - y' = 0.
O conteúdo aqui é a técnica do polinômio característico: transformamos a equação em um polinômio em r, encontramos as raízes e, a partir delas, construímos a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo em y'' - y' = 0 obtemos o polinômio característico:
r^2 - r = 0.

Passo 3

Fatorando o polinômio característico temos
r(r - 1) = 0,
logo as raízes são
r_1 = 0, \quad r_2 = 1.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são distintas, a solução geral da equação é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo r_1=0 e r_2=1 vem
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{1\cdot x} = C_1 + C_2 e^{x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 + C_2 e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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