Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
Passo 1
O problema de valor inicial dado é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Buscamos
satisfazendo
com as condições iniciais
e
. A estratégia será: determinar a solução geral homogênea, encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, usar as condições iniciais para fixar as constantes.
Passo 2
A equação homogênea associada é
. O polinômio característico é
cuja raízes são
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
, buscamos uma solução particular da forma
Calculando derivadas:
Substituindo em
resulta em
Agrupando termos:
Igualando coeficientes do polinômio e da exponencial obtemos o sistema
Daí
Portanto,
Passo 4
A solução geral é
Calculamos
:
Impondo
e
resulta em
Dessa forma,