Calcule o pH da solução tampão ácido acético e acetato para cada combinação de concentrações de par conjugado ácido-base.
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}_{2} \mathrm{H}\right]=0,100 \mathrm{moL} \mathrm{L}{ }^{-1} \mathrm{e} \left[\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}_{2}{ }^{-}\right]=0,100 \mathrm{moL} \mathrm{L}{ }^{-1}\).

Passo 1

O que o problema pede: calcular o pH de uma solução tampão formada pelo ácido acético e seu íon acetato nas concentrações dadas.
Informações fornecidas pelo enunciado:
[\mathrm{CH_{3}CO_{2}H}] = 0,100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{CH_{3}CO_{2}^{-}}] = 0,100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
Não foi dada no enunciado a constante de dissociação do ácido acético, então vou usar o valor típico à 25^\circ\mathrm{C}:
K_a(\mathrm{CH_3CO_2H}) = 1,8\times10^{-5}.

Passo 2

Entendendo a base teórica (passo-a-passo didático). Primeiro, escrevemos a reação de dissociação do ácido acético ( \mathrm{HA} representa \mathrm{CH_3CO_2H} e \mathrm{A^-} representa \mathrm{CH_3CO_2^-}):
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}.
A constante de dissociação ácida é definida por
K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Essa fórmula diz: quanto maior K_a, mais o ácido se ioniza. Aqui, [\mathrm{H^+}] é a concentração de íons hidrogênio em equilíbrio, [\mathrm{A^-}] é a concentração do conjugado base, e [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido não ionizado.

Passo 3

Derivação da equação de Henderson–Hasselbalch (muito útil para tampões). Tomando log10 dos dois lados de K_a:
\log_{10}K_a = \log_{10}[\mathrm{H^+}] + \log_{10}\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Multiplicando por -1 e lembrando que \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}] e \mathrm{p}K_a = -\log_{10}K_a, obtemos
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Essa é a famosa equação de Henderson–Hasselbalch. Ela é válida quando as concentrações utilizadas são as concentrações em equilíbrio (em tampões comuns a diferença é pequena e pode-se usar as concentrações iniciais como aproximação).

Passo 4

Calcular \mathrm{p}K_a a partir de K_a. Usando o valor típico escolhido:
K_a = 1,8\times10^{-5}.
Então
\mathrm{p}K_a = -\log_{10}\left(1,8\times10^{-5}\right).
Calculando o log (explicando como): \log_{10}(1,8) \approx 0,2553 e \log_{10}(10^{-5})=-5, portanto
\mathrm{p}K_a \approx -(0,2553-5)=4,7447.
Arredondando com duas casas decimais (prática usual em química analítica):
\mathrm{p}K_a \approx 4,74.

Passo 5

Aplicar Henderson–Hasselbalch às concentrações dadas. Como [\mathrm{A^-}] = 0,100 e [\mathrm{HA}] = 0,100,
\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} = \frac{0,100}{0,100} = 1.
Logo \log_{10}1 = 0. Substituindo na equação:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + 0 = \mathrm{p}K_a \approx 4,74.
Interpretação simples: quando as concentrações de ácido e base conjugada são iguais, o pH do tampão é igual ao \mathrm{p}K_a do ácido.

Passo 6

Verificação alternativa (método de equilíbrio completo, para ver que a aproximação é consistente). Montamos ICE (Initial, Change, Equilibrium) para a reação \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}.
Iniciais:
[\mathrm{HA}]_0 = 0,100,\quad [\mathrm{A^-}]_0 = 0,100,\quad [\mathrm{H^+}]_0 \approx 1,0\times10^{-7}\\ (\text{água pura, desprezível aqui}).áí
Mudanças (seja x o quanto o ácido se ioniza):
[\mathrm{HA}] = 0,100 - x,\quad [\mathrm{A^-}] = 0,100 + x,\quad [\mathrm{H^+}] = 1{,}0\times10^{-7} + x \approx x.
Inserindo em K_a:
1,8\times10^{-5} = \frac{x(0,100 + x)}{0,100 - x}.
Como esperamos x pequeno, aproximamos 0,100\pm x \approx 0,100, então
1,8\times10^{-5} \approx \frac{x\cdot 0,100}{0,100} = x.
Logo x \approx 1,8\times10^{-5}, o que dá
[\mathrm{H^+}] \approx 1,8\times10^{-5}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{pH} \approx -\log_{10}(1,8\times10^{-5}) \approx 4,74,
coincidindo com o resultado via Henderson–Hasselbalch.

Passo 7

Checagem da validade da aproximação: relação x/0,100 = \frac{1,8\times10^{-5}}{0,100} = 1,8\times10^{-4} = 0,00018, isto é 0,018\%. Isso é extremamente pequeno, então a aproximação usada (usar concentrações iniciais no lugar das de equilíbrio) é perfeitamente válida.

Resposta

\mathrm{pH}=4,74

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