Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 2 k+1k^2(k+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a soma de uma série infinita: sumk=1^+infty 2k + 1k^2(k+1)^2. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas. Pra resolver, vamos precisar entender de fracções parciais e como simplificar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 2k + 1k^2(k+1)^2. Nosso objetivo é simplificar isso para facilitar a soma. Uma técnica útil aqui é escrever o termo como uma diferença de frações, o que pode fazer a série “deslizar” (ou seja, muitos termos vão se cancelar).

Passo 3

Vamos tentar expressar 2k + 1k^2(k+1)^2 como a diferença de duas frações quadráticas:
2k + 1k^2(k+1)^2 = 1k^2 - 1(k+1)^2
Isso funciona porque, se você fizer a subtração no lado direito:
1k^2 - 1(k+1)^2 = (k+1)^2 - k^2k^2(k+1)^2 = 2k + 1k^2(k+1)^2
Então, a gente conseguiu simplificar o termo geral!

Passo 4

Agora que a expressão está simplificada, podemos somar a série:
sumk=1^+infty ( 1k^2 - 1(k+1)^2 )
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Vamos ver como fica:
( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + ( 13^2 - 14^2 ) + dots
Perceba que -12^2 se cancela com +12^2, -13^2 com +13^2, e assim por diante.

Passo 5

Depois de cancelar os termos intermediários, o que sobra é apenas o primeiro termo da série:
11^2 = 1
E como a série vai até o infinito, os termos que se aproximam de zero não afetam o resultado final.

Resposta

A soma da série é igual a 1.

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