Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando t -> infinito.
y'' + 4y' + 5y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Além disso, precisamos esboçar o gráfico da solução e descrever como ela se comporta quando t tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares homogêneas com constantes, encontrando as raízes da equação característica e aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque, para uma equação da forma , a equação característica é .

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( Delta):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 4

As raízes complexas são dadas por:
Então, temos e .

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 7

Em seguida, encontramos a derivada de y(t):
Aplicando :
Portanto, .

Passo 8

Com e , a solução geral se simplifica para:
Isso significa que a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas é a solução trivial .

Passo 9

Para o esboço do gráfico, como para todo t, o gráfico será uma linha reta no eixo horizontal ( ).
Quanto ao comportamento quando t -> infinito, a solução permanece constante em zero, já que não há variação ao longo do tempo.

Resposta

A solução do PVI é para todo t. O gráfico é uma linha horizontal no eixo e, quando t tende ao infinito, a solução permanece zero.

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