Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Além disso, precisamos esboçar o gráfico da solução e descrever como ela se comporta quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares homogêneas com constantes, encontrando as raízes da equação característica e aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque, para uma equação da forma
, a equação característica é
.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 4
As raízes complexas são dadas por:
Então, temos
e
.
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Portanto,
.
Passo 8
Com
e
, a solução geral se simplifica para:
Isso significa que a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas é a solução trivial
.
Passo 9
Para o esboço do gráfico, como
para todo
, o gráfico será uma linha reta no eixo horizontal (
).
Quanto ao comportamento quando
, a solução permanece constante em zero, já que não há variação ao longo do tempo.
Resposta
A solução do PVI é
para todo
. O gráfico é uma linha horizontal no eixo
e, quando
tende ao infinito, a solução permanece zero.