Calcule a soma da série
cuja somas parciais são dadas.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
.
As informações que temos são: a sequência das somas parciais (isto é, a soma dos
primeiros termos da série) é dada por
As informações que temos são: a sequência das somas parciais
Não se pede mais nada além da soma da série.
Passo 2
Entendendo o que significa “soma da série” (uma mini-aula): se
é a soma parcial definida por
então a série
converge exatamente quando existe o limite finito
Nesse caso, a soma da série é esse limite. Ou seja, o procedimento para achar a soma é calcular
.
Passo 3
Vamos manipular
algebricamente para facilitar o cálculo do limite. Partimos de
Uma técnica útil é escrever o numerador em função do denominador: observe que
logo
Substituindo na expressão de
temos
Passo 4
Simplificamos a fração separando os termos:
Essa forma é bem prática para analisar o comportamento quando
.
Passo 5
Agora calculamos o limite. Sabemos que
quando
, portanto
e, consequentemente,
Assim,
Passo 6
Conclusão e verificação numérica rápida (para ganhar confiança): os primeiros
são
esses valores vão se aproximando de
, o que confirma nossa análise. Portanto a série converge e sua soma é o limite calculado acima.