Calcule a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cuja somas parciais são dadas.
\quad S_{n}=\frac{2 n^{2}-1}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}.
As informações que temos são: a sequência das somas parciais S_{n} (isto é, a soma dos n primeiros termos da série) é dada por
S_{n}=\frac{2 n^{2}-1}{n^{2}+1}.
Não se pede mais nada além da soma da série.

Passo 2

Entendendo o que significa “soma da série” (uma mini-aula): se S_{n} é a soma parcial definida por
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k},
então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge exatamente quando existe o limite finito
\lim_{n\to\infty} S_{n}.
Nesse caso, a soma da série é esse limite. Ou seja, o procedimento para achar a soma é calcular \lim_{n\to\infty} S_{n}.

Passo 3

Vamos manipular S_{n} algebricamente para facilitar o cálculo do limite. Partimos de
S_{n}=\frac{2 n^{2}-1}{n^{2}+1}.
Uma técnica útil é escrever o numerador em função do denominador: observe que
2(n^{2}+1)=2n^{2}+2,
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2n^{2}-1 = 2(n^{2}+1) - 3.
Substituindo na expressão de S_{n} temos
S_{n}=\frac{2(n^{2}+1)-3}{n^{2}+1}.

Passo 4

Simplificamos a fração separando os termos:
S_{n}=\frac{2(n^{2}+1)}{n^{2}+1}-\frac{3}{n^{2}+1}=2-\frac{3}{n^{2}+1}.
Essa forma é bem prática para analisar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 5

Agora calculamos o limite. Sabemos que n^{2}\to\infty quando n\to\infty, portanto n^{2}+1\to\infty e, consequentemente,
\frac{3}{n^{2}+1}\to 0.
Assim,
\lim_{n\to\infty} S_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{3}{n^{2}+1}\right)=2-0.

Passo 6

Conclusão e verificação numérica rápida (para ganhar confiança): os primeiros S_{n} são
S_{1}=\frac{2\cdot1^{2}-1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}=0{,}5,
S_{2}=\frac{8-1}{4+1}=\frac{7}{5}=1{,}4,
S_{3}=\frac{18-1}{9+1}=\frac{17}{10}=1{,}7,
esses valores vão se aproximando de 2, o que confirma nossa análise. Portanto a série converge e sua soma é o limite calculado acima.

Resposta

\,2\,

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