A temperatura \mathrm{u}(\mathrm{x}, \mathrm{t}) em uma barra com 10 cm de comprimento, extremidades mantidas à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} para todo \mathrm{t}>0 \backslash \mathrm{ge} 0 \mathrm{t} \geq 0, a uma distribuição de temperatura inicial dada por:
O enunciado me dá o seguinte problema (vou escrever tudo explicitamente para ficar claro o que tenho em mãos):
A barra tem comprimento 10\) (unidades: cm) e as extremidades são mantidas a \(0^\circ\mathrm{C}\) para todo \(t\ge 0\). Logo as condições de contorno são
\[u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0\quad\text{para todo }t\ge 0.
A distribuição inicial (temperatura no instante t=0) é a função f(x) dada por
Está implícito que u(x,t)\] satisfaz a equação do calor unidimensional padrão (assumo a forma canônica com difusividade igual a \(1):
u_t = u_{xx},\qquad 0<x<10,\; t>0,
com condição inicial u(x,0)=f(x).
Esses são os dados: domínio espacial 0\le x\le 10, condições de contorno homogêneas de Dirichlet e condição inicial triangular, simétrica com pico f(5)=1.]
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vou usar separação de variáveis e expansão em série de senos (série de Fourier seno) porque as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(10,t)=0. Ideia principal: procurar solução da forma
onde os \sin(k_n x) são autovetores do problema de Sturm–Liouville para X''+\lambda X=0 com X(0)=X(10)=0. Vou explicar por quê: quando se separa as variáveis u(x,t)=X(x)T(t) e divide por XT obtém-se uma constante (autovalor) que leva ao problema espacial
X''+\mu X=0,\quad X(0)=X(10)=0,
cujos autovalores são \mu_n=(n\pi/10)^2 e autovetores X_n(x)=\sin(n\pi x/10). Cada modo temporal corresponde a T_n(t)=e^{-\mu_n t}. Essas funções \sin(n\pi x/10) são ortogonais em [0,10] e servem de base para expandir f(x).
Passo 3
Detalhe técnico (autovalores e autovetores): resolvendo X''+\mu X=0 com X(0)=X(10)=0 obtemos as soluções não-triviais quando \mu=\left(\dfrac{n\pi}{10}\right)^2 para n=1,2,\dots. Portanto
Agora preciso determinar os coeficientes b_n a partir da condição inicial u(x,0)=f(x).
Passo 4
Como as funções \sin\!\big(\dfrac{n\pi x}{10}\big)\) são ortogonais em \([0,10]\) com
\[\int_0^{10}\sin\!\Big(\dfrac{n\pi x}{10}\Big)\sin\!\Big(\dfrac{m\pi x}{10}\Big)\,dx = \begin{cases} 0,& n\neq m,\\[4pt] \dfrac{10}{2}=\,5,& n=m, \end{cases}
a expansão de f(x)\] na base de senos tem coeficientes dados por (fórmula padrão da série de Fourier seno)
\[b_n = \dfrac{2}{10}\int_0^{10} f(x)\sin\!\Big(\dfrac{n\pi x}{10}\Big)\,dx = \dfrac{1}{5}\int_0^{10} f(x)\sin\!\Big(\dfrac{n\pi x}{10}\Big)\,dx.\]
Vou calcular essa integral usando a expressão por partes de \(f(x) (ela é definida por dois ramos em [0,5) e [5,10)).]
Passo 5
Escrevo a integral em duas partes usando a definição de f(x):
Lembro que \alpha=\dfrac{n\pi}{10}, então 5\alpha = \dfrac{n\pi}{2} e 10\alpha = n\pi. Sabendo que \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, o termo \sin(10\alpha)=\sin(n\pi)=0. Assim
Observação importante sobre \sin\!\big(\dfrac{n\pi}{2}\big): esse termo é zero para n par e alterna entre +1 e -1 para n ímpar. Assim só aparecem termos ímpares na série. Podemos reescrever para n=2m-1 (m=1,2,\dots):
Isso dá a expansão da temperatura para t>0 e 0\le x\le 10. Interpretação física rápida: somente modos ímpares (seno com meio-período alinhado ao pico central) aparecem porque a condição inicial é uma função ímpar em relação ao centro x=5 espelhada com sinal trocado — em outras palavras, a simetria da condição inicial escolhe só esses modos — e cada modo decai exponencialmente com taxa proporcional a (2m-1)^2.