O enunciado dá o problema de Dirichlet para a equação de Laplace na região retangular 0<x<2,\;0<y<2\):
\[\begin{cases} u_{x x}+u_{y y}=0, & 0<x<2,\;0<y<2,\\[4pt] u(x,0)=0, & 0\le x\le2,\\[4pt] u(x,2)=f(x), & 0\le x\le2,\\[4pt] u(0,y)=0, & 0\le y\le2, \end{cases}
Para que o problema de Dirichlet esteja completamente especificado e tenha solução única, também é necessário o valor de u\] na reta \(x=2. Vou tomar a hipótese natural (padrão neste tipo de exercício) de que a condição de contorno na vertical direita é u(2,y)=0 para 0\le y\le2. Assim todas as quatro arestas do quadrado têm contornos especificados:
u(0,y)=u(2,y)=u(x,0)=0,\qquad u(x,2)=f(x).]
Passo 2
Ideia do método (separation of variables, explicado passo a passo).
Vamos procurar soluções por separação de variáveis da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em \;u_{xx}+u_{yy}=0\; obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo X e Y não nulas):
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, cada termo deve ser igual a uma constante negativa/positiva oposta. Tomamos a constante -\lambda (convencional), obtendo os dois ODEs
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
Agora impomos as condições de contorno em x: como u(0,y)=0 e u(2,y)=0 para todo y, obtemos X(0)=X(2)=0. Isso é um problema de autovalores para X. Os autovalores e autovetores são (modo padrão):
Explicação curta: a equação X''+\lambda X=0 com X(0)=X(2)=0 tem soluções não-triviais somente para \lambda dessa forma, e os senos formam uma base ortogonal em [0,2].
Para cada \lambda_n a equação para Y é Y''-\lambda_n Y=0 com solução geral
Portanto f deve ser expandida na série de senos \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) em [0,2]. Pela ortogonalidade dos senos em [0,2] (onde \int_0^2\sin^2(\tfrac{n\pi x}{2})\,dx=1), os coeficientes são dados por
Usando a identidade \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha, isso é
a_n=\frac{2\sin\alpha\,(1-\cos\alpha)}{\alpha^2}.
Agora substituímos \alpha=\alpha_n=\tfrac{n\pi}{2}. Observação importante: para n par temos \sin(\alpha_n)=0 (pois \alpha_n=k\pi), logo a_n=0 se n é par. Para n ímpar, digamos n=2m-1, temos \sin(\alpha_n)=(-1)^{m-1} e \cos(\alpha_n)=0; então 1-\cos\alpha_n=1 e
Essa série representa a solução harmônica no quadrado que satisfaz u=0 nas três arestas inferiores e laterais e u(x,2)=f(x) na aresta superior com a f dada.
Pequena interpretação pedagógica: cada termo é um modo harmônico em x (seno) ajustado em y pela função hiperbólica \operatorname{sinh}. O fator \operatorname{sinh}((2m-1)\pi) no denominador serve para forçar que, na linha y=2, a combinação desses modos reproduza exatamente f(x). Os termos pares anulem-se porque a função triangular dada é simétrica de modo que sua série de senos tem apenas modos ímpares.