Calcule a soma da série
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
As informações relevantes que o enunciado dá são:
- A série é a soma sobre
de termos do tipo . - Cada termo é produto de um coeficiente
por um fator que depende de : . - Não há figura nem outra informação adicional.
O que nos é pedido: encontrar (ou aproximar com justificativa) o valor da soma infinita dessa série.
Passo 2
Estratégia inicial e observações sobre convergência (por que podemos somar o que vamos manipular).
- Vou separar a soma em duas somas mais simples, somando termo a termo:
- Justificativa de convergência: os coeficientes
são da ordem e é geométrica; o fator tende a quando . Assim os termos gerais têm comportamento parecido com , logo a série converge absolutamente. Isso nos permite separar em duas séries e manipular limites e somas parciais sem medo.
Passo 3
Lembrando fórmulas úteis que vou usar (mini-aula curta e prática):
- Série geométrica: para
,
No nosso caso,
- Frações parciais (para telescopar): para
,
Isso permite somar
via cancelamentos: a série telescopa. De fato,
(Expliquei porque: os termos se cancelam em pares e sobram só os primeiros dois termos ao fazer a soma parcial e passar ao limite.)
- Observação sobre
: defino . Então
série de Taylor da exponencial em
. Para
grande o fator difere de
por quantias muito pequenas:
é aproximadamente
. Isso permite fazer aproximações controladas para a cauda da série.
Passo 4
Cálculo das somas “fáceis” (quando o fator multiplicador fosse
).
- Se
fosse igual a para todo (não é, mas é uma referência), a soma dos coeficientes seria
Isso nos dá uma base: o valor real da soma será maior que
porque
para todo
.
Passo 5
Método prático para obter o valor numérico: soma explícita dos primeiros termos (muitas vezes a prova pede técnica; aqui a série não tem uma forma elementar fechada simples), mais estimativa da cauda. Vou calcular os termos iniciais com detalhe para que você saiba como proceder na prova e dar uma estimativa de erro controlada.
- Defino
(então e ). - Para cada
o termo geral é .
Vou calcularpara (isso já dá muita precisão) e depois estimar a cauda .
Passo 6
Cálculo dos primeiros termos (mostrar passo a passo):
- Constante
. - Cálculo
por aproximação (usando expansão até termos relevantes). Valores aproximados: -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
(As aproximações foram obtidas via a expansão; para o termo quadrático já é muito pequeno.)
-
- Agora os coeficientes
para : -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Agora
. Calculando (apenas mostrar valores aproximados finais): -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Soma parcial até
:
Passo 7
Estimativa da cauda (erro e termo restante
).
- Já calculamos a soma total dos coeficientes sem o fator
: . - Soma parcial dos primeiros 12 coeficientes
é aproximadamente (isto é menos a cauda abaixo). - Mais diretamente já calculei as caudas separadamente: a soma dos
de é aproximadamente e a soma de de é muito pequena . Logo a soma dos coeficientes para é aproximadamente .
- Mais diretamente já calculei as caudas separadamente: a soma dos
- Como
, o efeito de multiplicar por acrescenta um pequeno excesso a essa cauda. Um majorante para esse excesso é
Mas
é da ordem de
. Assim o acréscimo por conta de
na cauda é da ordem
a
, desprezível para a precisão que queremos.
- Portanto a contribuição da cauda
é aproximadamente com erro (bastante pequeno).
Passo 8
Soma final e resultado numérico com justificativa de precisão.
- Soma parcial até
foi . - Soma da cauda
(aproximada por assumir na cauda e corrigida por ser um erro insignificante) é . - Somando:
- Considerando os arredondamentos intermediários e o erro negligenciável na cauda, podemos dar a resposta com 6 casas decimais confiáveis: