Calcule a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right) 3^{\frac{1}{3^{n}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right)3^{\frac{1}{3^{n}}}.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A série é a soma sobre n=1,2,3,\ldots de termos do tipo \left(\dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}}\right)3^{\frac{1}{3^{n}}}.
  • Cada termo é produto de um coeficiente \dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}} por um fator que depende de n: 3^{\frac{1}{3^{n}}}.
  • Não há figura nem outra informação adicional.
O que nos é pedido: encontrar (ou aproximar com justificativa) o valor da soma infinita dessa série.

Passo 2

Estratégia inicial e observações sobre convergência (por que podemos somar o que vamos manipular).
  • Vou separar a soma em duas somas mais simples, somando termo a termo:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right)3^{\frac{1}{3^{n}}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\,3^{\frac{1}{3^{n}}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}\,3^{\frac{1}{3^{n}}}.
  • Justificativa de convergência: os coeficientes \dfrac{1}{n(n+2)} são da ordem O(1/n^2) e \dfrac{1}{3^{n-1}} é geométrica; o fator 3^{1/3^{n}} tende a 1 quando n\to\infty. Assim os termos gerais têm comportamento parecido com O(1/n^2)+O(3^{-n}), logo a série converge absolutamente. Isso nos permite separar em duas séries e manipular limites e somas parciais sem medo.

Passo 3

Lembrando fórmulas úteis que vou usar (mini-aula curta e prática):
  • Série geométrica: para |z|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} z^{k}=\frac{1}{1-z}.
No nosso caso, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n-1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}.
  • Frações parciais (para telescopar): para n\ge1,
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Isso permite somar \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} via cancelamentos: a série telescopa. De fato,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}.
(Expliquei porque: os termos se cancelam em pares e sobram só os primeiros dois termos ao fazer a soma parcial e passar ao limite.)
  • Observação sobre 3^{1/3^{n}}: defino a=\ln 3. Então
3^{\frac{1}{3^{n}}}=e^{\frac{\ln 3}{3^{n}}}=1+\frac{a}{3^{n}}+\frac{a^{2}}{2\cdot 3^{2n}}+\cdots,
série de Taylor da exponencial em 0. Para n grande o fator difere de 1 por quantias muito pequenas: 3^{1/3^{n}}-1 é aproximadamente \dfrac{a}{3^{n}}. Isso permite fazer aproximações controladas para a cauda da série.

Passo 4

Cálculo das somas “fáceis” (quando o fator multiplicador fosse 1).
  • Se 3^{1/3^{n}} fosse igual a 1 para todo n (não é, mas é uma referência), a soma dos coeficientes seria
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}=2{,}25.
Isso nos dá uma base: o valor real da soma será maior que 2{,}25 porque 3^{1/3^{n}}>1 para todo n.

Passo 5

Método prático para obter o valor numérico: soma explícita dos primeiros termos (muitas vezes a prova pede técnica; aqui a série não tem uma forma elementar fechada simples), mais estimativa da cauda. Vou calcular os termos iniciais com detalhe para que você saiba como proceder na prova e dar uma estimativa de erro controlada.
  • Defino x_{n}=3^{1/3^{n}} (então x_{n}>1 e x_{n}\to1).
  • Para cada n o termo geral é t_{n}=\left(\dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}}\right)x_{n}.
    Vou calcular t_{n} para n=1,\ldots,12 (isso já dá muita precisão) e depois estimar a cauda n\ge13.

Passo 6

Cálculo dos primeiros termos (mostrar passo a passo):
  • Constante a=\ln 3\approx1{,}098612289.
  • Cálculo x_{n}=e^{a/3^{n}} por aproximação (usando expansão até termos relevantes). Valores aproximados:
    • x_{1}=3^{1/3}\approx1{,}442249389.
    • x_{2}\approx1{,}129837.
    • x_{3}\approx1{,}041529.
    • x_{4}\approx1{,}0136555.
    • x_{5}\approx1{,}0045339.
    • x_{6}\approx1{,}0015091.
    • x_{7}\approx1{,}0005026.
    • x_{8}\approx1{,}00016746.
    • x_{9}\approx1{,}00005581.
    • x_{10}\approx1{,}00001863.
    • x_{11}\approx1{,}00000620.
    • x_{12}\approx1{,}00000207.
      (As aproximações foram obtidas via a expansão e^{a/3^{n}}\approx 1 + a/3^{n} + a^{2}/(2\cdot 3^{2n}); para n\ge5 o termo quadrático já é muito pequeno.)
  • Agora os coeficientes c_{n}=\dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}} para n=1,\dots,12:
    • c_{1}=\dfrac{1}{1\cdot 3}+1=\dfrac{1}{3}+1=1{,}333333333.
    • c_{2}=\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{3}=0{,}125+0{,}333333333=0{,}458333333.
    • c_{3}=0{,}0666666667+0{,}1111111111=0{,}1777777778.
    • c_{4}=0{,}0416666667+0{,}037037037=0{,}0787037037.
    • c_{5}=0{,}0285714286+0{,}012345679=0{,}0409171076.
    • c_{6}=0{,}0208333333+0{,}0041152263=0{,}0249485596.
    • c_{7}=0{,}0158730159+0{,}0013717421=0{,}0172447580.
    • c_{8}=0{,}0125+0{,}0004572474=0{,}0129572474.
    • c_{9}=0{,}0101010101+0{,}0001524158=0{,}0102534259.
    • c_{10}=0{,}0083333333+0{,}000050805=0{,}0083841383.
    • c_{11}=0{,}00699300699+0{,}000016934=0{,}0070099419.
    • c_{12}=0{,}0059523810+0{,}000005642=0{,}0059580230.
  • Agora t_{n}=c_{n}x_{n}. Calculando (apenas mostrar valores aproximados finais):
    • t_{1}\approx 1{,}922999185.
    • t_{2}\approx 0{,}517842.
    • t_{3}\approx 0{,}185160.
    • t_{4}\approx 0{,}0797777.
    • t_{5}\approx 0{,}041101.
    • t_{6}\approx 0{,}0249863.
    • t_{7}\approx 0{,}0172534.
    • t_{8}\approx 0{,}0129594.
    • t_{9}\approx 0{,}010253999.
    • t_{10}\approx 0{,}008384295.
    • t_{11}\approx 0{,}007009982.
    • t_{12}\approx 0{,}005958035.
  • Soma parcial até n=12:
\sum_{n=1}^{12} t_{n}\approx 2{,}833685296.

Passo 7

Estimativa da cauda (erro e termo restante n\ge13).
  • Já calculamos a soma total dos coeficientes sem o fator x_{n}: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}}\right)=\dfrac{9}{4}=2{,}25.
  • Soma parcial dos primeiros 12 coeficientes \sum_{n=1}^{12}\left(\dfrac{1}{n(n+2)}+\dfrac{1}{3^{n-1}}\right) é aproximadamente 2{,}17582135 (isto é 2{,}25 menos a cauda abaixo).
    • Mais diretamente já calculei as caudas separadamente: a soma dos \dfrac{1}{n(n+2)} de n\ge13 é aproximadamente 0{,}0741758241 e a soma de \dfrac{1}{3^{n-1}} de n\ge13 é muito pequena \approx 0{,}0000028267. Logo a soma dos coeficientes para n\ge13 é aproximadamente 0{,}0741786508.
  • Como x_{n}=1+O(3^{-n}), o efeito de multiplicar por x_{n} acrescenta um pequeno excesso a essa cauda. Um majorante para esse excesso é
\sum_{n=13}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right)\left(x_{n}-1\right) \le \left(\max_{n\ge13}(x_{n}-1)\right)\cdot 0{,}07418.
Mas x_{13}-1\approx a/3^{13} é da ordem de 10^{-6}. Assim o acréscimo por conta de x_{n}-1 na cauda é da ordem 10^{-7} a 10^{-6}, desprezível para a precisão que queremos.
  • Portanto a contribuição da cauda n\ge13 é aproximadamente 0{,}07417865 com erro <10^{-6} (bastante pequeno).

Passo 8

Soma final e resultado numérico com justificativa de precisão.
  • Soma parcial até 12 foi \approx 2{,}833685296.
  • Soma da cauda n\ge13 (aproximada por assumir x_{n}\approx1 na cauda e corrigida por ser um erro insignificante) é \approx 0{,}07417865.
  • Somando:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+2)}+\frac{1}{3^{n-1}}\right)3^{\frac{1}{3^{n}}} \approx 2{,}833685296 + 0{,}0741786508 \approx 2{,}907863947.
  • Considerando os arredondamentos intermediários e o erro negligenciável na cauda, podemos dar a resposta com 6 casas decimais confiáveis:
\boxed{2{,}907864\\ (\text{aproximado})}.

Resposta

\;2{,}907864

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