No antigo reino de Algebrália havia um lendário artesão chamado Eudóxio, famoso por suas impressionantes criações geométricas. O rei de Algebrália desafiou Eudóxio a criar uma ponte suspensa, seguindo a curva da função
entre os pontos
e
. Para calcular a quantidade de material necessário, Eudóxio precisa determinar o comprimento exato dessa curva. Ajude Eudóxio, calculando o comprimento de arco da função
entre os pontos fornecidos.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o comprimento da curva dessa função entre os dois pontos
e
. As informações relevantes são:
- Função:
. - Intervalo em
: de até . - Objetivo: calcular o comprimento de arco da curva
para .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada com calma): o comprimento de arco de uma curva dada por
entre
e
é
O que isso significa:
é a inclinação (derivada) da curva em cada ponto; a expressão
é o fator que corrige o eixo
para medir a distância real ao longo da curva (pitagoreanamente). Vamos aplicar essa fórmula ao nosso
.
Passo 3
Calcular a derivada usando a regra do poder: se
então
. Para
temos
Passo 4
Agora calculamos
e a raiz do integrando:
Assim
Portanto a integral do comprimento fica simples:
Passo 5
Para resolver a integral façamos a substituição linear
. Então
ou
. Trocar os limites:
- quando
, ; - quando
, .
A integral transforma-se em
Passo 6
Calcular a primitiva de
:
. Logo
Passo 7
Agora simplificamos
e
. Lembre que
.
Substituindo na expressão de
,
Passo 8
Conferindo com as alternativas dadas, a expressão obtida corresponde à alternativa (e).