No antigo reino de Algebrália havia um lendário artesão chamado Eudóxio, famoso por suas impressionantes criações geométricas. O rei de Algebrália desafiou Eudóxio a criar uma ponte suspensa, seguindo a curva da função f(x)=x^{3 / 2} entre os pontos (1,1) e (4,8). Para calcular a quantidade de material necessário, Eudóxio precisa determinar o comprimento exato dessa curva. Ajude Eudóxio, calculando o comprimento de arco da função f(x) entre os pontos fornecidos.
a) \frac{1}{27}\left(8 \sqrt{10}-\frac{13 \sqrt{13}}{2}\right)
b) \frac{1}{9}\left(80 \sqrt{10}-\frac{13 \sqrt{13}}{2}\right)
c) \frac{1}{27}(80 \sqrt{10}-\sqrt{13})
d) \frac{1}{9}(80 \sqrt{10}-13 \sqrt{13})
e) \frac{1}{27}(80 \sqrt{10}-13 \sqrt{13})

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3/2} e pede o comprimento da curva dessa função entre os dois pontos (1,1) e (4,8). As informações relevantes são:
  • Função: f(x)=x^{3/2}.
  • Intervalo em x: de x=1 até x=4.
  • Objetivo: calcular o comprimento de arco da curva y=f(x) para 1\le x\le4.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada com calma): o comprimento de arco de uma curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
O que isso significa: f'(x) é a inclinação (derivada) da curva em cada ponto; a expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} é o fator que corrige o eixo x para medir a distância real ao longo da curva (pitagoreanamente). Vamos aplicar essa fórmula ao nosso f.

Passo 3

Calcular a derivada usando a regra do poder: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Para f(x)=x^{3/2} temos
f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Passo 4

Agora calculamos \bigl(f'(x)\bigr)^{2} e a raiz do integrando:
\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}=\frac{9}{4}x.
Assim
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}x}=\sqrt{\frac{9x+4}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{9x+4}.
Portanto a integral do comprimento fica simples:
L=\int_{1}^{4}\frac{1}{2}\sqrt{9x+4}\;dx.

Passo 5

Para resolver a integral façamos a substituição linear u=9x+4. Então du=9\,dx ou dx=\dfrac{du}{9}. Trocar os limites:
  • quando x=1, u=9\cdot1+4=13;
  • quando x=4, u=9\cdot4+4=40.
    A integral transforma-se em
L=\int_{u=13}^{u=40}\frac{1}{2}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}=\frac{1}{18}\int_{13}^{40}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Calcular a primitiva de u^{1/2}: \int u^{1/2}\,du=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Logo
L=\frac{1}{18}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{13}^{40}=\frac{1}{27}\left[u^{3/2}\right]_{13}^{40}=\frac{1}{27}\bigl(40^{3/2}-13^{3/2}\bigr).

Passo 7

Agora simplificamos 40^{3/2} e 13^{3/2}. Lembre que a^{3/2}=(\sqrt{a})^{3}.
40^{3/2}=(\sqrt{40})^{3}=(2\sqrt{10})^{3}=8\cdot(\sqrt{10})^{3}=8\cdot10\sqrt{10}=80\sqrt{10},
13^{3/2}=13\sqrt{13}.
Substituindo na expressão de L,
L=\frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\bigr).

Passo 8

Conferindo com as alternativas dadas, a expressão obtida corresponde à alternativa (e).

Resposta

\dfrac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\bigr)

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