Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.

Passo 1

O enunciado pede que eu coloque V para verdadeiro ou F para falso numa única afirmação e que eu justifique a minha escolha; se a afirmação for falsa, devo reescrevê‑la de forma verdadeira.
A afirmação dada é:
“Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.”
Isso é tudo o que o exercício fornece. Vou agora explicar passo a passo o conceito e testar a afirmação com exemplos e argumentos gerais.

Passo 2

Definições básicas (para garantir que estamos na mesma página):
  • Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser descrito por uma equação linear do tipo \;a x + b y + c z + d = 0\;, onde (a,b,c) é o vetor normal ao plano.
  • Dois planos são distintos quando não representam exatamente o mesmo conjunto de pontos (isto é, não são a mesma equação multiplicada por uma constante).
  • Dizemos que dois planos têm pontos em comum quando existe pelo menos um ponto (x,y,z) que satisfaça as equações dos dois planos simultaneamente.

Passo 3

Exemplo que mostra que a afirmação é falsa (dois planos distintos que têm pontos em comum):
Considere os planos
P_1: x = 0 \qquad\text{e}\qquad P_2: y = 0.
Estes são planos distintos (suas equações não representam o mesmo plano). A interseção P_1\cap P_2 é o conjunto de pontos que satisfazem x=0 e y=0 simultaneamente, ou seja
\{(0,0,z) \mid z\in\mathbb{R}\},
que é a reta z-axis. Portanto há infinitos pontos em comum. Logo a afirmação “nunca possuem pontos em comum” é falsa.

Passo 4

Exemplo que mostra que há casos sem pontos em comum (para contraste):
Considere os planos
Q_1: x+y+z=0 \qquad\text{e}\qquad Q_2: x+y+z=1.
Os vetores normais são iguais (1,1,1), logo os planos são paralelos (ou coincidentes). Se existisse um ponto comum, ele teria de satisfazer ambas as equações; subtraindo-as obtém‑se 0=1, absurdo. Portanto Q_1 e Q_2 são planos distintos sem pontos em comum. Isso mostra que existem tanto casos com interseção quanto casos sem interseção.

Passo 5

Argumento geral e regra prática (fórmula/ideia útil para a prova):
  • Seja P_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 e P_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0.
  • Compare os vetores normais n_1=(a_1,b_1,c_1) e n_2=(a_2,b_2,c_2).
    • Se n_1 e n_2 não são múltiplos escalares, então os planos não são paralelos e a solução do sistema de duas equações lineares em três incógnitas tem dimensão 1: a interseção é uma reta (infinitos pontos).
    • Se n_1 e n_2 são múltiplos escalares, então os planos são paralelos. Nesse caso há duas sub‑possibilidades:
      • Se as constantes d_1 e d_2 estão na mesma proporção que os coeficientes dos normais, os planos coincidem (são o mesmo plano) — então têm todos os pontos em comum.
      • Caso contrário, os planos são paralelos distintos e não têm pontos em comum.
  • Conclusão prática: Dois planos distintos podem tanto não ter pontos em comum (quando são paralelos distintos) quanto ter uma reta inteira de pontos em comum (quando se cruzam). Portanto a afirmação “nunca possuem pontos em comum” é, em geral, falsa.

Passo 6

Resposta final do raciocínio: a afirmação é falsa. A forma correta (reescrevendo para tornar verdadeira) é, por exemplo:
“Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.”

Resposta

F
Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.

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