Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.
Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.
Passo 1
O enunciado pede que eu coloque
para verdadeiro ou
para falso numa única afirmação e que eu justifique a minha escolha; se a afirmação for falsa, devo reescrevê‑la de forma verdadeira.
A afirmação dada é:
“Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.”
“Dois planos distintos nunca possuem pontos em comum.”
Isso é tudo o que o exercício fornece. Vou agora explicar passo a passo o conceito e testar a afirmação com exemplos e argumentos gerais.
Passo 2
Definições básicas (para garantir que estamos na mesma página):
- Um plano em
pode ser descrito por uma equação linear do tipo , onde é o vetor normal ao plano. - Dois planos são distintos quando não representam exatamente o mesmo conjunto de pontos (isto é, não são a mesma equação multiplicada por uma constante).
- Dizemos que dois planos têm pontos em comum quando existe pelo menos um ponto
que satisfaça as equações dos dois planos simultaneamente.
Passo 3
Exemplo que mostra que a afirmação é falsa (dois planos distintos que têm pontos em comum):
Considere os planos
Considere os planos
Estes são planos distintos (suas equações não representam o mesmo plano). A interseção
é o conjunto de pontos que satisfazem
e
simultaneamente, ou seja
que é a reta
-axis. Portanto há infinitos pontos em comum. Logo a afirmação “nunca possuem pontos em comum” é falsa.
Passo 4
Exemplo que mostra que há casos sem pontos em comum (para contraste):
Considere os planos
Considere os planos
Os vetores normais são iguais
, logo os planos são paralelos (ou coincidentes). Se existisse um ponto comum, ele teria de satisfazer ambas as equações; subtraindo-as obtém‑se
, absurdo. Portanto
e
são planos distintos sem pontos em comum. Isso mostra que existem tanto casos com interseção quanto casos sem interseção.
Passo 5
Argumento geral e regra prática (fórmula/ideia útil para a prova):
- Seja
e . - Compare os vetores normais
e . - Se
e não são múltiplos escalares, então os planos não são paralelos e a solução do sistema de duas equações lineares em três incógnitas tem dimensão : a interseção é uma reta (infinitos pontos). - Se
e são múltiplos escalares, então os planos são paralelos. Nesse caso há duas sub‑possibilidades: - Se as constantes
e estão na mesma proporção que os coeficientes dos normais, os planos coincidem (são o mesmo plano) — então têm todos os pontos em comum. - Caso contrário, os planos são paralelos distintos e não têm pontos em comum.
- Se as constantes
- Se
- Conclusão prática: Dois planos distintos podem tanto não ter pontos em comum (quando são paralelos distintos) quanto ter uma reta inteira de pontos em comum (quando se cruzam). Portanto a afirmação “nunca possuem pontos em comum” é, em geral, falsa.
Passo 6
Resposta final do raciocínio: a afirmação é falsa. A forma correta (reescrevendo para tornar verdadeira) é, por exemplo:
“Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.”
“Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.”
Resposta
F
Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.
Dois planos paralelos distintos não possuem pontos em comum.