Calcule a soma da série
cujas somas parciais são dadas.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá as somas parciais
de uma série
pela fórmula
A pergunta é: qual é a soma da série
, isto é, qual é o valor de
(quando existir)?
Passo 2
Lembrete importante (definição útil): as somas parciais são
. Pela definição de soma de série, a soma da série, quando existe, é o limite das somas parciais:
Ou seja, para achar a soma basta calcular
.
Passo 3
Vamos analisar o termo
. Como
, a sequência geométrica
tende a
quando
. Explicando de um jeito tranquilo: multiplicando por
repetidamente você vai ficando cada vez mais perto de zero, então
Passo 4
Agora aplicamos o limite em
. Usando continuidade das operações,
Portanto a série converge e sua soma é
.
Passo 5
Para fixar a ideia: se quiser, podemos obter a expressão dos termos
a partir das somas parciais por
Substituindo a fórmula dada:
Isso mostra que os termos formam uma progressão geométrica (com razão
), e confirma o comportamento que usamos para calcular o limite das somas parciais. Bom trabalho — estamos quase lá!