Calcule a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cujas somas parciais são dadas.
(a) s_{n}=2-3(0,8)^{n}

Passo 1

O enunciado dá as somas parciais s_{n} de uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} pela fórmula
s_{n}=2-3(0,8)^{n}.
A pergunta é: qual é a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, isto é, qual é o valor de \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} (quando existir)?

Passo 2

Lembrete importante (definição útil): as somas parciais são s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}. Pela definição de soma de série, a soma da série, quando existe, é o limite das somas parciais:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} s_{n}.
Ou seja, para achar a soma basta calcular \lim_{n\to\infty} s_{n}.

Passo 3

Vamos analisar o termo (0,8)^{n}. Como |0,8|<1, a sequência geométrica (0,8)^{n} tende a 0 quando n\to\infty. Explicando de um jeito tranquilo: multiplicando por 0,8 repetidamente você vai ficando cada vez mais perto de zero, então
\lim_{n\to\infty} (0,8)^{n}=0.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em s_{n}. Usando continuidade das operações,
\lim_{n\to\infty} s_{n}=\lim_{n\to\infty}\bigl(2-3(0,8)^{n}\bigr)=2-3\cdot\lim_{n\to\infty}(0,8)^{n}=2-3\cdot 0=2.
Portanto a série converge e sua soma é 2.

Passo 5

Para fixar a ideia: se quiser, podemos obter a expressão dos termos a_{n} a partir das somas parciais por
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.
Substituindo a fórmula dada:
a_{n}=\bigl(2-3(0,8)^{n}\bigr)-\bigl(2-3(0,8)^{n-1}\bigr)=3(0,8)^{\,n-1}(1-0,8)=0,6\,(0,8)^{\,n-1}.
Isso mostra que os termos formam uma progressão geométrica (com razão 0,8), e confirma o comportamento que usamos para calcular o limite das somas parciais. Bom trabalho — estamos quase lá!

Resposta

2

Exercícios relacionados