Calcule a soma da série
cujas somas parciais são dadas.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá as somas parciais
de uma série e pede para calcular a soma da série
. As informações relevantes são:
- Para todo
temos
- Por definição de soma parcial,
. - A pergunta é: qual é o valor de
(se convergir)?
Passo 2
Vamos lembrar uma relação fundamental entre somas parciais e a soma da série: se
é a soma parcial da série
, então
e a soma da série, quando existe, é o limite dos
:
desde que esse limite exista (ou seja, as somas parciais convergem). Então nosso problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Calculemos
a partir de
Para avaliar esse limite, dividimos numerador e denominador por
:
Agora usamos a propriedade de limites de que
quando
. Substituindo os termos que vão a zero,
Explicando devagar: o termo de maior ordem em numerador e denominador é
, então a razão tende à razão dos coeficientes desses termos, isto é
.
Passo 4
Como o limite
existe e vale
, concluímos que a série
converge e sua soma é exatamente esse limite:
(se quiser conferir com termos individuais:
,
, etc., mas não é necessário para a soma final).