Calcule a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cujas somas parciais são dadas.
(b) s_{n}=\frac{n^{2}-1}{4 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá as somas parciais \,s_{n}\, de uma série e pede para calcular a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}. As informações relevantes são:
  • Para todo n\ge 1 temos
s_{n}=\frac{n^{2}-1}{4 n^{2}+1}.
  • Por definição de soma parcial, \,s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}\,.
  • A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} (se convergir)?

Passo 2

Vamos lembrar uma relação fundamental entre somas parciais e a soma da série: se \,s_{n}\, é a soma parcial da série \sum a_{n}, então
a_{1}=s_{1}, \qquad a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\\ \text{ para } n\ge2,
e a soma da série, quando existe, é o limite dos s_{n}:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} s_{n},
desde que esse limite exista (ou seja, as somas parciais convergem). Então nosso problema reduz-se a calcular \lim_{n\to\infty} s_{n}.

Passo 3

Calculemos \lim_{n\to\infty} s_{n} a partir de
s_{n}=\frac{n^{2}-1}{4 n^{2}+1}.
Para avaliar esse limite, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
s_{n}=\frac{1-\dfrac{1}{n^{2}}}{4+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Agora usamos a propriedade de limites de que \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty. Substituindo os termos que vão a zero,
\lim_{n\to\infty} s_{n}=\frac{1-0}{4+0}=\frac{1}{4}.
Explicando devagar: o termo de maior ordem em numerador e denominador é n^{2}, então a razão tende à razão dos coeficientes desses termos, isto é 1/4.

Passo 4

Como o limite \lim_{n\to\infty} s_{n} existe e vale \tfrac{1}{4}, concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge e sua soma é exatamente esse limite:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} s_{n}=\frac{1}{4}.
(se quiser conferir com termos individuais: a_{1}=s_{1}=\dfrac{1^{2}-1}{4\cdot1^{2}+1}=0, a_{2}=s_{2}-s_{1}=\dfrac{3}{17}, etc., mas não é necessário para a soma final).

Resposta

\tfrac{1}{4}

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