Encontre as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
é uma função racional (fração de polinômios).
O denominador fatorou-se como (dois fatores lineares distintos).
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão tal que
.
O denominador fatorou-se como
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
Passo 2
Ideia da técnica de frações parciais (explicação didática):
Quando temos uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações mais simples cuja integral é conhecida. Aqui o denominador é , produto de dois fatores lineares distintos, então procuramos constantes
e
tais que
Quando temos uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações mais simples cuja integral é conhecida. Aqui o denominador é
Explicando as letras:
-
e são números reais (constantes) que vamos determinar. - A vantagem é que
e são integrais simples (logaritmos).
Observação necessária antes de decompor: a fração é própria porque o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
), então não precisamos fazer divisão polinomial.
Passo 3
Determinar
e
.
Multiplicando a identidade pela denominação comum obtemos a identidade polinomial
Multiplicando a identidade pela denominação comum
Agora resolvemos essa identidade. Dois jeitos comuns:
Jeito rápido (substituir valores de
que anulam fatores):
Escolha :
Escolha
Escolha
:
Verificação por comparação de coeficientes (opcional, serve como checagem):
Expandindo dá
. Comparando com
obtemos o sistema
e
. Daí
. Confere com o cálculo acima.
Expandindo
Passo 4
Reescrever a integral usando os valores de
e
:
Portanto
Agora integramos termo a termo. Lembrete das primitivas básicas:
-
. - Pelo mesmo raciocínio,
.
Aplicando essas fórmulas:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Observações finais e forma alternativa:
- O uso de valor absoluto em
é obrigatório porque a primitiva da função é . - Podemos combinar os logaritmos numa forma única usando propriedades de log:
Como
absorve constantes multiplicativas e sinais, outra forma equivalente é
mas a escrita mais direta e segura é
.
Força aí — você já pegou o método: fatorar o denominador, escrever a decomposição, achar constantes (às vezes plugando valores convenientes) e integrar termo a termo. Dá pra fazer rápido na prova.