Encontre as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais
\int \frac{x-1}{x(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-1}{x(x+1)}\,dx.
Informações dadas:
\frac{x-1}{x(x+1)} é uma função racional (fração de polinômios).
O denominador fatorou-se como x(x+1) (dois fatores lineares distintos).
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\frac{x-1}{x(x+1)}.

Passo 2

Ideia da técnica de frações parciais (explicação didática):
Quando temos uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos, podemos escrever a fração como soma de frações mais simples cuja integral é conhecida. Aqui o denominador é x(x+1), produto de dois fatores lineares distintos, então procuramos constantes A e B tais que
\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Explicando as letras:
  • A e B são números reais (constantes) que vamos determinar.
  • A vantagem é que \int \frac{A}{x}\,dx e \int \frac{B}{x+1}\,dx são integrais simples (logaritmos).
Observação necessária antes de decompor: a fração é própria porque o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então não precisamos fazer divisão polinomial.

Passo 3

Determinar A e B.
Multiplicando a identidade pela denominação comum x(x+1) obtemos a identidade polinomial
x-1 = A(x+1)+Bx.
Agora resolvemos essa identidade. Dois jeitos comuns:
Jeito rápido (substituir valores de x que anulam fatores):
Escolha x=0:
0-1 = A(0+1)+B\cdot 0 \implies -1 = A \implies A=-1.
Escolha x=-1:
-1-1 = A(0)+B(-1) \implies -2 = -B \implies B=2.
Verificação por comparação de coeficientes (opcional, serve como checagem):
Expandindo A(x+1)+Bx (A+B)x + A. Comparando com x-1 obtemos o sistema A+B=1 e A=-1. Daí B=1-A=1-(-1)=2. Confere com o cálculo acima.

Passo 4

Reescrever a integral usando os valores de A e B:
\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{-1}{x}+\frac{2}{x+1}.
Portanto
\int \frac{x-1}{x(x+1)}\,dx = \int\left(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrete das primitivas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Pelo mesmo raciocínio, \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
    Aplicando essas fórmulas:
\int\left(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}\right)\,dx = -\int\frac{1}{x}\,dx + 2\int\frac{1}{x+1}\,dx = -\ln|x| + 2\ln|x+1| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Observações finais e forma alternativa:
  • O uso de valor absoluto em \ln|\cdot| é obrigatório porque a primitiva da função \frac{1}{x} é \ln|x|.
  • Podemos combinar os logaritmos numa forma única usando propriedades de log:
-\ln|x| + 2\ln|x+1| = \ln\left(\frac{(x+1)^2}{|x|}\right).
Como C absorve constantes multiplicativas e sinais, outra forma equivalente é
\ln\!\left(\frac{(x+1)^2}{x}\right) + C,
mas a escrita mais direta e segura é -\ln|x| + 2\ln|x+1| + C.
Força aí — você já pegou o método: fatorar o denominador, escrever a decomposição, achar constantes (às vezes plugando valores convenientes) e integrar termo a termo. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

-\ln|x| + 2\ln|x+1| + C

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