Calcule a soma das séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1) \sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}.
Informações dadas e o que é pedido:
\text{somar todos os termos } a_k=\frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}\quad\text{para }k=1,2,3,\dots
A pergunta é: qual é o valor da soma dessa série infinita?

Passo 2

Vamos manipular cada termo a_k algébrica e didaticamente. Um truque muito útil quando há somas de radicais no denominador é multiplicar por uma expressão conjugada para transformar a diferença de quadrados. Relembre: para quaisquer A e B vale
(A+B)(A-B)=A^2-B^2.
Aqui escolhemos
A=(k+1)\sqrt{k},\qquad B=k\sqrt{k+1},
e multiplicamos numerador e denominador de a_k pela conjugada A-B. Assim:
a_k=\frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}} =\frac{(k+1)\sqrt{k} - k\sqrt{k+1}}{\big((k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}\big)\big((k+1)\sqrt{k} - k\sqrt{k+1}\big)}.
Agora calcule o denominador usando a diferença de quadrados:
\big((k+1)\sqrt{k}\big)^2 - \big(k\sqrt{k+1}\big)^2 = (k+1)^2 k - k^2 (k+1).
Fatorando k(k+1):
(k+1)^2 k - k^2 (k+1) = k(k+1)\big((k+1)-k\big)=k(k+1).
Portanto o denominador simplifica para k(k+1). O numerador continua (k+1)\sqrt{k} - k\sqrt{k+1}. Logo
a_k=\frac{(k+1)\sqrt{k} - k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}.

Passo 3

Agora simplificamos a fração por partes: separamos a expressão em duas parcelas
a_k=\frac{(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)} - \frac{k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}.
Em cada parcela podemos cancelar fatores:
\frac{(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)}=\frac{\sqrt{k}}{k}=\frac{1}{\sqrt{k}},
\frac{k\sqrt{k+1}}{k(k+1)}=\frac{\sqrt{k+1}}{k+1}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}.
Portanto obtemos uma forma muito mais simples e bonita:
a_k=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.
Isto é um clássico: os termos estão escritos como diferença de dois termos consecutivos — isso gera uma série telescópica.

Passo 4

Calcule a soma parcial S_N=\sum_{k=1}^{N} a_k. Usando a forma telescópica,
S_N=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right).
Ao escrever os primeiros termos vemos o cancelamento:
S_N=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right).
Quase todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
S_N=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 5

A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando N\to\infty. Portanto
\sum_{k=1}^{\infty} a_k=\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right).
Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0, concluímos que a soma da série é
1-0=1.

Resposta

1

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