Calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações dadas e o que é pedido:
A pergunta é: qual é o valor da soma dessa série infinita?
Passo 2
Vamos manipular cada termo
algébrica e didaticamente. Um truque muito útil quando há somas de radicais no denominador é multiplicar por uma expressão conjugada para transformar a diferença de quadrados. Relembre: para quaisquer
e
vale
Aqui escolhemos
e multiplicamos numerador e denominador de
pela conjugada
. Assim:
Agora calcule o denominador usando a diferença de quadrados:
Fatorando
:
Portanto o denominador simplifica para
. O numerador continua
. Logo
Passo 3
Agora simplificamos a fração por partes: separamos a expressão em duas parcelas
Em cada parcela podemos cancelar fatores:
Portanto obtemos uma forma muito mais simples e bonita:
Isto é um clássico: os termos estão escritos como diferença de dois termos consecutivos — isso gera uma série telescópica.
Passo 4
Calcule a soma parcial
. Usando a forma telescópica,
Ao escrever os primeiros termos vemos o cancelamento:
Quase todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas
Passo 5
A soma da série infinita é o limite das somas parciais quando
. Portanto
Como
, concluímos que a soma da série é