Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k+3}}{\mathrm{e}^{k-3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k+3}}{\mathrm{e}^{k-3}}
e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. As informações relevantes são: a soma indexada por k começa em k=0 e vai até infinito; o termo geral é \dfrac{2^{k+3}}{\mathrm{e}^{k-3}}. O objetivo é decidir convergência/divergência e, se convergente, calcular o valor da soma.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para ver sua forma mais clara. Começo manipulando a potência no numerador e no denominador usando regras de potências: \mathrm{e}^{k-3}=\mathrm{e}^{k}\mathrm{e}^{-3}=\dfrac{\mathrm{e}^{k}}{\mathrm{e}^{3}}. Portanto,
\frac{2^{k+3}}{\mathrm{e}^{k-3}} =2^{k+3}\cdot\frac{\mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{k}} =\mathrm{e}^{3}\cdot 2^{k+3}\cdot\mathrm{e}^{-k}.
Agora uso 2^{k+3}=2^{3}\cdot 2^{k}=8\cdot 2^{k} e \mathrm{e}^{-k}=(1/\mathrm{e})^{k}. Assim obtemos
\frac{2^{k+3}}{\mathrm{e}^{k-3}}=8\,\mathrm{e}^{3}\left(\frac{2}{\mathrm{e}}\right)^{k}.

Passo 3

A forma obtida em \;8\,\mathrm{e}^{3}\left(\dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)^{k}\; é um múltiplo de uma série geométrica padrão. Uma série geométrica tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo (quando k=0) e r é a razão. No nosso caso, o fator constante 8\,\mathrm{e}^{3} corresponde a a (valor do termo quando k=0) e a razão é r=\dfrac{2}{\mathrm{e}}, porque o termo geral é a\,r^{k} com a=8\,\mathrm{e}^{3}.

Passo 4

Relembre a regra de convergência da série geométrica: para \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
\text{se }|r|<1\text{, a série converge e} \quad \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.é
\text{se }|r|\ge 1\text{, a série diverge.}é
Essa fórmula vem da soma parcial e do limite: a soma parcial S_n=\sum_{k=0}^{n}ar^{k}=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r} (para r\neq1). Se |r|<1 então r^{n+1}\to0 quando n\to\infty, e assim S_n\to \dfrac{a}{1-r}.

Passo 5

Aplicamos o critério ao nosso caso. A razão é
r=\frac{2}{\mathrm{e}}.
Como \mathrm{e}\approx 2{,}718>2, segue que |r|=\dfrac{2}{\mathrm{e}}<1. Portanto a série converge e sua soma é dada por
\sum_{k=0}^{\infty}8\,\mathrm{e}^{3}\left(\frac{2}{\mathrm{e}}\right)^{k} =\frac{8\,\mathrm{e}^{3}}{1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}}.

Passo 6

Agora simplifico a expressão da soma. Primeiro escrevo o denominador com denominador comum:
1-\frac{2}{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}}.
Substituindo,
\frac{8\,\mathrm{e}^{3}}{1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}} =8\,\mathrm{e}^{3}\cdot\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-2} =\frac{8\,\mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}-2}.
Essa é a forma simplificada da soma.

Passo 7

Resumo rápido e ânimo: a série é geométrica com razão \dfrac{2}{\mathrm{e}} menor que 1, então converge, e a soma foi calculada passo a passo para chegar a uma expressão simples. Se quiser, dá para obter uma aproximação numérica substituindo \mathrm{e}\approx2{,}718, mas a forma exata é preferível para prova.

Resposta

\displaystyle \frac{8\,\mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}-2}

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