Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. As informações relevantes são: a soma indexada por
começa em
e vai até infinito; o termo geral é
. O objetivo é decidir convergência/divergência e, se convergente, calcular o valor da soma.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral para ver sua forma mais clara. Começo manipulando a potência no numerador e no denominador usando regras de potências:
. Portanto,
Agora uso
e
. Assim obtemos
Passo 3
A forma obtida em
é um múltiplo de uma série geométrica padrão. Uma série geométrica tem a forma
onde
é o primeiro termo (quando
) e
é a razão. No nosso caso, o fator constante
corresponde a
(valor do termo quando
) e a razão é
, porque o termo geral é
com
.
Passo 4
Relembre a regra de convergência da série geométrica: para
,
Essa fórmula vem da soma parcial e do limite: a soma parcial
(para
). Se
então
quando
, e assim
.
Passo 5
Aplicamos o critério ao nosso caso. A razão é
Como
, segue que
. Portanto a série converge e sua soma é dada por
Passo 6
Agora simplifico a expressão da soma. Primeiro escrevo o denominador com denominador comum:
Substituindo,
Essa é a forma simplificada da soma.
Passo 7
Resumo rápido e ânimo: a série é geométrica com razão
menor que
, então converge, e a soma foi calculada passo a passo para chegar a uma expressão simples. Se quiser, dá para obter uma aproximação numérica substituindo
, mas a forma exata é preferível para prova.