Calcule a soma das séries:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}\right).
Informações dadas:
  • O somatório é para k variando de 1 até infinito.
  • O termo geral é \frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico da soma dessa série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral algebricamente. Observe que
\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2}{2^{k+1}}-\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}.
Aqui usei a regra de potências \frac{1}{2^{k}}=\frac{2}{2^{k+1}} e então somei/subtrai elementos com o mesmo denominador.

Passo 3

Com essa simplificação, a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}.
Para deixar mais claro, faço uma mudança de índice: seja n=k+1. Quando k=1 temos n=2; quando k\to\infty temos n\to\infty. Assim a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.

Passo 4

Agora uso a fórmula da série geométrica infinita. A fórmula geral é
\sum_{m=0}^{\infty} a r^{m}=\frac{a}{1-r}\quad\text{se }|r|<1,
onde a é o primeiro termo da série (quando m=0) e r é a razão (cada termo é obtido multiplicando o anterior por r). No nosso caso, a série \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} é geométrica com primeiro termo (quando n=2) igual a \frac{1}{4} e razão \frac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{1/4}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}.
Detalhe do cálculo: dividir \tfrac{1}{4} por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar \tfrac{1}{4} por 2, dando \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil na prova): usar somas parciais e o efeito telescópico. Defina a soma parcial
S_{N}=\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}\right).
Escrevendo alguns termos vemos a anulação:
S_{N}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{N}}-\frac{1}{2^{N+1}}\right).
Quase todos os termos internos cancelam em pares, sobrando
S_{N}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{N+1}}.
Tomando limite quando N\to\infty, o termo \frac{1}{2^{N+1}} vai a zero, logo
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}\right)=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Uma observação final útil na prova: esse tipo de soma telescópica generaliza. Para qualquer r>1,
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{r^{k}}-\frac{1}{r^{k+1}}\right)=\frac{1}{r}.
No nosso caso r=2, recuperando \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados