Calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
Informações dadas:
- O somatório é para
variando de até infinito. - O termo geral é
.
O que precisamos encontrar: o valor numérico da soma dessa série infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral algebricamente. Observe que
Aqui usei a regra de potências
e então somei/subtrai elementos com o mesmo denominador.
Passo 3
Com essa simplificação, a série fica
Para deixar mais claro, faço uma mudança de índice: seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim a série vira
Passo 4
Agora uso a fórmula da série geométrica infinita. A fórmula geral é
onde
é o primeiro termo da série (quando
) e
é a razão (cada termo é obtido multiplicando o anterior por
). No nosso caso, a série
é geométrica com primeiro termo (quando
) igual a
e razão
. Aplicando a fórmula:
Detalhe do cálculo: dividir
por
é o mesmo que multiplicar
por
, dando
.
Passo 5
Como verificação alternativa (útil na prova): usar somas parciais e o efeito telescópico. Defina a soma parcial
Escrevendo alguns termos vemos a anulação:
Quase todos os termos internos cancelam em pares, sobrando
Tomando limite quando
, o termo
vai a zero, logo
Passo 6
Uma observação final útil na prova: esse tipo de soma telescópica generaliza. Para qualquer
,
No nosso caso
, recuperando
.