Calcule a soma entre os vetores
e
e o produto do número real
com o vetor
:
;
Passo 1
Vou descrever claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (isso é importante para não nos perder durante a conta). O problema pede duas coisas:
- Calcular a soma entre os vetores
e . - Calcular o produto do número real
pelo vetor .
Os dados fornecidos são:
Passo 2
O que significa somar vetores em
? Aqui vai uma explicação didática e simples:
Sejam dois vetores
e
. A soma
é feita componente a componente, isto é:
Intuição rápida: você soma as coordenadas correspondentes em cada eixo
. Isso é fácil de aplicar na prova: some primeiro com primeiro, segundo com segundo, terceiro com terceiro.
Passo 3
Agora aplico a fórmula da soma aos vetores dados. Usando
e
, temos:
Faço as somas componente a componente:
Portanto o vetor soma (ainda mostrado passo a passo) é
.
Passo 4
Agora, o que é multiplicar um vetor por um escalar? Definição e explicação:
Se
é um número real e
é um vetor, então o produto escalar
é dado por:
Ou seja, multiplicar um vetor por um número escala cada componente separadamente. Geometricamente, se
alonga (ou encurta) o vetor, se
além de alongar/encurtar, inverte sua direção.
Passo 5
Aplico a regra do produto escalar com
e
:
Faço as multiplicações:
Assim obtemos o vetor resultante
.
Passo 6
Uma verificação rápida e útil (propriedade distributiva) para ganhar segurança:
.
Como checagem mental, calculemos os dois lados rapidamente:
Como checagem mental, calculemos os dois lados rapidamente:
Primeiro
(do Passo 3), então
Segundo, já temos
. Podemos calcular
:
Somando
.
Os dois lados coincidem, então a conta está consistente com as propriedades dos vetores.