Calcule a soma entre os vetores u e v e o produto do número real r com o vetor u :
u=(0,0,1), v=(1,1,0), r=-2;

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (isso é importante para não nos perder durante a conta). O problema pede duas coisas:
  • Calcular a soma entre os vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Calcular o produto do número real r pelo vetor \mathbf{u}.
Os dados fornecidos são:
\mathbf{u}=(0,0,1),\qquad \mathbf{v}=(1,1,0),\qquad r=-2.

Passo 2

O que significa somar vetores em \mathbb{R}^3? Aqui vai uma explicação didática e simples:
Sejam dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3). A soma \mathbf{a}+\mathbf{b} é feita componente a componente, isto é:
\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3).
Intuição rápida: você soma as coordenadas correspondentes em cada eixo x,y,z. Isso é fácil de aplicar na prova: some primeiro com primeiro, segundo com segundo, terceiro com terceiro.

Passo 3

Agora aplico a fórmula da soma aos vetores dados. Usando \mathbf{u}=(0,0,1) e \mathbf{v}=(1,1,0), temos:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(0+1,\;0+1,\;1+0).
Faço as somas componente a componente:
0+1=1,\qquad 0+1=1,\qquad 1+0=1.
Portanto o vetor soma (ainda mostrado passo a passo) é (1,1,1).

Passo 4

Agora, o que é multiplicar um vetor por um escalar? Definição e explicação:
Se s é um número real e \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) é um vetor, então o produto escalar s\mathbf{a} é dado por:
s\mathbf{a}=(s a_1,\; s a_2,\; s a_3).
Ou seja, multiplicar um vetor por um número escala cada componente separadamente. Geometricamente, se s>0 alonga (ou encurta) o vetor, se s<0 além de alongar/encurtar, inverte sua direção.

Passo 5

Aplico a regra do produto escalar com r=-2 e \mathbf{u}=(0,0,1):
r\mathbf{u} = -2\cdot(0,0,1)=(-2\cdot 0,\;-2\cdot 0,\;-2\cdot 1).
Faço as multiplicações:
-2\cdot 0=0,\qquad -2\cdot 0=0,\qquad -2\cdot 1=-2.
Assim obtemos o vetor resultante (0,0,-2).

Passo 6

Uma verificação rápida e útil (propriedade distributiva) para ganhar segurança: r(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = r\mathbf{u}+r\mathbf{v}.
Como checagem mental, calculemos os dois lados rapidamente:
Primeiro \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,1) (do Passo 3), então
r(\mathbf{u}+\mathbf{v})=-2\cdot(1,1,1)=(-2,-2,-2).
Segundo, já temos r\mathbf{u}=(0,0,-2). Podemos calcular r\mathbf{v}:
r\mathbf{v}=-2\cdot(1,1,0)=(-2,-2,0).
Somando r\mathbf{u}+r\mathbf{v}=(0,0,-2)+(-2,-2,0)=(-2,-2,-2).
Os dois lados coincidem, então a conta está consistente com as propriedades dos vetores.

Resposta

\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,1)
r\mathbf{u}=(0,0,-2)

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