Calcule a soma entre os vetores u e v e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real r com o vetor u.
u=(-1,2), v=(2,-1), r=2;

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede-se a soma entre os vetores u e v.
  • Pede-se também a representação gráfica dessa soma.
  • Em seguida, pede o produto do número real r pelo vetor u.
Informações fornecidas:
u = (-1,2),\qquad v=(2,-1),\qquad r=2.

Passo 2

O que é soma de vetores (explicação didática e fórmula):
A soma de vetores é feita componente a componente. Se tivermos dois vetores no plano \,u=(u_x,u_y)\, e \,v=(v_x,v_y)\,, então a soma u+v é o vetor cujas componentes são a soma das componentes correspondentes:
u+v=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
Aqui:
  • u_x é a componente x do vetor u.
  • u_y é a componente y do vetor u.
    Essa regra vem de pensar cada vetor como deslocamento: somar deslocamentos junta as deslocações em cada direção.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos vetores dados (contas passo a passo):
Identificando componentes:
u_x=-1,\quad u_y=2,\quad v_x=2,\quad v_y=-1.
Somando componente a componente:
u+v=(u_x+v_x,\;u_y+v_y)=(-1+2,\;2+(-1)).
Calcule passo a passo:
-1+2=1,\qquad 2+(-1)=1.
Portanto
u+v=(1,1).

Passo 4

Checagem rápida (para não errar na prova):
  • Verifique cada componente separadamente.
  • Se houver sinal negativo, faça a soma como soma algébrica normal.
    No nosso caso ambas as componentes resultaram em 1, o que confirma o cálculo.

Passo 5

Como representar graficamente a soma (explicação didática e procedimento passo a passo):
  • Desenhe um sistema de eixos x e y. Marque a origem O=(0,0).
  • Plote o ponto final do vetor u: como u=(-1,2), marque o ponto A=(-1,2). Desenhe uma seta de O até A e rotule-a u.
  • Plote o ponto final do vetor v: como v=(2,-1), marque o ponto B=(2,-1). Desenhe uma seta de O até B e rotule-a v.
  • Método “ponta com rabo” (tip-to-tail): para somar u+v, traslade (mova) o vetor v sem girá-lo, de modo que a sua origem coincida com a ponta (extremidade) de u em A. Ou seja, desenhe a mesma seta v partindo de A; o novo ponto final será A+B (soma das coordenadas de A e de B em relação à origem).
  • O vetor resultante u+v é a seta que vai de O até o ponto final obtido por essa translação. Pelo cálculo feito, esse ponto final é (1,1). Marque o ponto C=(1,1) e desenhe a seta de O até C; essa é a soma u+v.
  • Alternativa (regra do paralelogramo): desenhe u e v ambos com origem em O. Complete o paralelogramo com vértices O,A,B e o quarto vértice C. A diagonal OC do paralelogramo é u+v. O vértice C terá coordenadas (1,1), como calculado.
Dica prática para prova: desenhe pequenos quadrados para representar unidades e marque as coordenadas inteiras; isso evita erro de escala.

Passo 6

O que é multiplicação de vetor por escalar (explicação didática):
Se r é um número real e u=(u_x,u_y) é um vetor, então o produto r u é dado por
r u = (r\cdot u_x,\; r\cdot u_y).
Interpretação geométrica:
  • Se r>0, r u tem a mesma direção e sentido que u e comprimento multiplicado por |r|.
  • Se r<0, r u tem direção igual, sentido oposto (inverte o sentido) e comprimento multiplicado por |r|.
  • Se |r|>1, estica o vetor; se 0<|r|<1, encolhe.

Passo 7

Aplicando a fórmula com r=2 (contas passo a passo):
Identificando:
u_x=-1,\quad u_y=2,\quad r=2.
Multiplicando cada componente:
r u = (2\cdot(-1),\;2\cdot 2)=(-2,\;4).
Portanto
r u = (-2,4).

Passo 8

Representação gráfica de r u (como desenhar na prova):
  • A partir da origem O, desenhe a seta até (-2,4). Esse é o vetor 2u.
  • Geometricamente, compare com u: o ponto final de u é (-1,2). O ponto final de 2u é exatamente o dobro em cada coordenada, ou seja, fica duas vezes mais distante na mesma direção, em (-2,4).
  • Se quiser desenhar sem calcular as coordenadas, marque o ponto final de u e multiplique a distância OA por 2 mantendo a mesma direção.

Passo 9

Resumo final das interpretações para usar em prova (pequeno lembrete):
  • Soma: some componente a componente. Depois desenhe com regra ponta-com-rabo ou paralelogramo.
  • Escalar: multiplique cada componente pelo escalar. Geometricamente é alongar/encolher/inverter o vetor.

Resposta

u+v=(1,1)
r\,u=(-2,4)

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