Calcule a soma entre os vetores
e
e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real
com o vetor
.
;
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede-se a soma entre os vetores
e . - Pede-se também a representação gráfica dessa soma.
- Em seguida, pede o produto do número real
pelo vetor .
Informações fornecidas:
Passo 2
O que é soma de vetores (explicação didática e fórmula):
A soma de vetores é feita componente a componente. Se tivermos dois vetores no plano e
, então a soma
é o vetor cujas componentes são a soma das componentes correspondentes:
A soma de vetores é feita componente a componente. Se tivermos dois vetores no plano
Aqui:
-
é a componente do vetor . -
é a componente do vetor .
Essa regra vem de pensar cada vetor como deslocamento: somar deslocamentos junta as deslocações em cada direção.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos vetores dados (contas passo a passo):
Identificando componentes:
Identificando componentes:
Somando componente a componente:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 4
Checagem rápida (para não errar na prova):
- Verifique cada componente separadamente.
- Se houver sinal negativo, faça a soma como soma algébrica normal.
No nosso caso ambas as componentes resultaram em, o que confirma o cálculo.
Passo 5
Como representar graficamente a soma (explicação didática e procedimento passo a passo):
- Desenhe um sistema de eixos
e . Marque a origem . - Plote o ponto final do vetor
: como , marque o ponto . Desenhe uma seta de até e rotule-a . - Plote o ponto final do vetor
: como , marque o ponto . Desenhe uma seta de até e rotule-a . - Método “ponta com rabo” (tip-to-tail): para somar
, traslade (mova) o vetor sem girá-lo, de modo que a sua origem coincida com a ponta (extremidade) de em . Ou seja, desenhe a mesma seta partindo de ; o novo ponto final será (soma das coordenadas de e de em relação à origem). - O vetor resultante
é a seta que vai de até o ponto final obtido por essa translação. Pelo cálculo feito, esse ponto final é . Marque o ponto e desenhe a seta de até ; essa é a soma . - Alternativa (regra do paralelogramo): desenhe
e ambos com origem em . Complete o paralelogramo com vértices e o quarto vértice . A diagonal do paralelogramo é . O vértice terá coordenadas , como calculado.
Dica prática para prova: desenhe pequenos quadrados para representar unidades e marque as coordenadas inteiras; isso evita erro de escala.
Passo 6
O que é multiplicação de vetor por escalar (explicação didática):
Se é um número real e
é um vetor, então o produto
é dado por
Se
Interpretação geométrica:
- Se
, tem a mesma direção e sentido que e comprimento multiplicado por . - Se
, tem direção igual, sentido oposto (inverte o sentido) e comprimento multiplicado por . - Se
, estica o vetor; se , encolhe.
Passo 7
Aplicando a fórmula com
(contas passo a passo):
Identificando:
Identificando:
Multiplicando cada componente:
Portanto
Passo 8
Representação gráfica de
(como desenhar na prova):
- A partir da origem
, desenhe a seta até . Esse é o vetor . - Geometricamente, compare com
: o ponto final de é . O ponto final de é exatamente o dobro em cada coordenada, ou seja, fica duas vezes mais distante na mesma direção, em . - Se quiser desenhar sem calcular as coordenadas, marque o ponto final de
e multiplique a distância OA por mantendo a mesma direção.
Passo 9
Resumo final das interpretações para usar em prova (pequeno lembrete):
- Soma: some componente a componente. Depois desenhe com regra ponta-com-rabo ou paralelogramo.
- Escalar: multiplique cada componente pelo escalar. Geometricamente é alongar/encolher/inverter o vetor.