Calcule as somas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas:
- O índice
varia de até . - Cada termo dentro da soma é composto por duas parcelas:
(que depende de ) e (que é uma constante em relação a ).
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa soma.
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de somas para separar as parcelas. A propriedade de linearidade diz que
e que uma constante pode ser fatorada:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Calculo a parcela constante
. Primeiro avalio a potência:
então
Como isso não depende de
, a soma dessa parcela sobre
é simplesmente
vezes
(pois há
termos:
):
Passo 4
Agora tratamos a soma geométrica
. Vou ensinar a fórmula e derivá-la rapidamente para você não ter dúvida na prova.
Definição: uma soma geométrica com razão
é
Derivação da fórmula (passo a passo): multiplica-se
por
:
Subtraindo as duas expressões:
Fatorando o lado esquerdo:
Portanto, para
,
Passo 5
Aplicando a fórmula com
e
:
Calculo
:
Logo
Passo 6
Voltando à expressão total: lembrando que tínhamos fatorado
na primeira parcela,
Passo 7
Somando as duas partes que encontramos: