Calcule as somas a seguir:
\sum_{j=0}^{4}\left(2 \cdot 3^{j}+3 \cdot 3^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{j=0}^{4}\left(2\cdot 3^{j}+3\cdot 3^{2}\right).
Informações dadas:
  • O índice j varia de 0 até 4.
  • Cada termo dentro da soma é composto por duas parcelas: 2\cdot 3^{j} (que depende de j) e 3\cdot 3^{2} (que é uma constante em relação a j).
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de somas para separar as parcelas. A propriedade de linearidade diz que
\sum_{j=0}^{4}\big(a_j+b_j\big)=\sum_{j=0}^{4}a_j+\sum_{j=0}^{4}b_j
e que uma constante pode ser fatorada:
\sum_{j=0}^{4} c\,a_j = c\sum_{j=0}^{4} a_j.
Aplicando isso ao nosso caso:
\sum_{j=0}^{4}\left(2\cdot 3^{j}+3\cdot 3^{2}\right) =2\sum_{j=0}^{4}3^{j}+\sum_{j=0}^{4}3\cdot 3^{2}.

Passo 3

Calculo a parcela constante 3\cdot 3^{2}. Primeiro avalio a potência:
3^{2}=9,
então
3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27.
Como isso não depende de j, a soma dessa parcela sobre j=0,\dots,4 é simplesmente 5 vezes 27 (pois há 5 termos: j=0,1,2,3,4):
\sum_{j=0}^{4}3\cdot 3^{2}= \sum_{j=0}^{4}27 = 5\cdot 27 = 135.

Passo 4

Agora tratamos a soma geométrica \sum_{j=0}^{4}3^{j}. Vou ensinar a fórmula e derivá-la rapidamente para você não ter dúvida na prova.
Definição: uma soma geométrica com razão r é
S_n=\sum_{j=0}^{n} r^{j}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Derivação da fórmula (passo a passo): multiplica-se S_n por r:
rS_n = r + r^{2} + \cdots + r^{n} + r^{n+1}.
Subtraindo as duas expressões:
rS_n - S_n = r^{n+1}-1.
Fatorando o lado esquerdo:
(r-1)S_n = r^{n+1}-1.
Portanto, para r\neq 1,
S_n = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}.

Passo 5

Aplicando a fórmula com r=3 e n=4:
\sum_{j=0}^{4}3^{j} = \frac{3^{5}-1}{3-1}.
Calculo 3^{5}:
3^{1}=3,\;3^{2}=9,\;3^{3}=27,\;3^{4}=81,\;3^{5}=243.
Logo
\sum_{j=0}^{4}3^{j} = \frac{243-1}{2}=\frac{242}{2}=121.

Passo 6

Voltando à expressão total: lembrando que tínhamos fatorado 2 na primeira parcela,
2\sum_{j=0}^{4}3^{j}=2\cdot 121 = 242.

Passo 7

Somando as duas partes que encontramos:
2\sum_{j=0}^{4}3^{j} + \sum_{j=0}^{4}3\cdot 3^{2} = 242 + 135 = 377.

Resposta

377

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