Calcule as somas a seguir:
\sum_{j=0}^{4}(2 j+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{j=0}^{4}(2j+1).
Informações dadas:
  • O índice j varia de 0 até 4.
  • O termo geral da soma é 2j+1.
  • Isso significa que são 5 termos no total (para j=0,1,2,3,4).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a propriedade linear da soma (somar termo a termo e separar coeficientes) e a fórmula conhecida para a soma dos primeiros inteiros. Essa escolha é natural porque o termo 2j+1 é uma combinação linear de j e da constante 1, então podemos separar a soma em duas somas mais simples. Também vou mostrar uma verificação alternativa listando os termos.

Passo 3

Propriedade usada (explicação didática): a soma é linear, ou seja, para constantes a,b e sequência x_j,y_j vale
\sum_{j=0}^{4}\big(a x_j + b y_j\big)=a\sum_{j=0}^{4}x_j + b\sum_{j=0}^{4}y_j.
No nosso caso x_j=j, y_j=1, a=2, b=1. Aplicando essa propriedade obtemos:
\sum_{j=0}^{4}(2j+1)=2\sum_{j=0}^{4}j+\sum_{j=0}^{4}1.

Passo 4

Agora calculamos cada soma simples. Primeiro, \sum_{j=0}^{4}j.
A fórmula para a soma dos inteiros de 1 até n é
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},
que se obtém emparelhando termos ( 1+n,2+(n-1),\dots). No nosso caso queremos \sum_{j=0}^{4}j; como o j=0 contribui com 0, temos
\sum_{j=0}^{4}j=\sum_{k=1}^{4}k=\frac{4\cdot(4+1)}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10.

Passo 5

A segunda soma é \sum_{j=0}^{4}1. Aqui estamos somando a constante 1 5 vezes (porque há 5 valores de j), logo
\sum_{j=0}^{4}1=5.
Substituindo em \sum_{j=0}^{4}(2j+1)=2\sum_{j=0}^{4}j+\sum_{j=0}^{4}1 obtemos
\sum_{j=0}^{4}(2j+1)=2\cdot 10 + 5 = 20 + 5 = 25.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): listar os termos gerados por 2j+1 para j=0,1,2,3,4:
1,\;3,\;5,\;7,\;9.
Somando passo a passo: 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16, 16+9=25. Confirma 25.

Resposta

25

Exercícios relacionados