Calcule as somas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas:
- O índice
varia de até . - O termo geral da soma é
. - Isso significa que são
termos no total (para ).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma.
Passo 2
Escolha do método: vou usar a propriedade linear da soma (somar termo a termo e separar coeficientes) e a fórmula conhecida para a soma dos primeiros inteiros. Essa escolha é natural porque o termo
é uma combinação linear de
e da constante
, então podemos separar a soma em duas somas mais simples. Também vou mostrar uma verificação alternativa listando os termos.
Passo 3
Propriedade usada (explicação didática): a soma é linear, ou seja, para constantes
e sequência
vale
No nosso caso
,
,
,
. Aplicando essa propriedade obtemos:
Passo 4
Agora calculamos cada soma simples. Primeiro,
.
A fórmula para a soma dos inteiros de até
é
A fórmula para a soma dos inteiros de
que se obtém emparelhando termos (
). No nosso caso queremos
; como o
contribui com
, temos
Passo 5
A segunda soma é
. Aqui estamos somando a constante
vezes (porque há
valores de
), logo
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova): listar os termos gerados por
para
:
Somando passo a passo:
,
,
,
. Confirma
.