Questão 5. A respeito das funções exponenciais e logarítmicas, faça o que se pede:
Seja
a função real dada por
. Calcule
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes:
- A expressão dentro do log é
. - Vamos avaliar
em e em e subtrair esses valores. - Importante: para que
esteja definida, precisamos que o argumento do seja positivo; se necessário eu vou comentar sobre domínio ao longo da resolução.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão quadrática dentro do log. Reconhecemos uma identidade conhecida (quadrado perfeito):
Explicando rapidinho: expandindo
obtemos
, então as duas expressões são iguais para todo
.
Passo 3
Com isso podemos reescrever
de forma mais simples:
Uma propriedade útil do logaritmo é que
. Outra propriedade é
(válida quando
), porque o quadrado torna o argumento positivo e o log transforma potência em multiplicação por expoente. Vou usar essas propriedades quando for conveniente.
Passo 4
Agora calculamos
. Substituindo
em
temos
portanto
Passo 5
Calculemos
. Substituindo
em
temos
portanto
Passo 6
Agora fazemos a diferença pedida usando a propriedade do logaritmo que transforma diferença em razão:
Simplificando a fração:
Portanto
Passo 7
Opcional — podemos dar uma forma alternativa usando potência:
logo
Ambas as formas são equivalentes; escolhi
como resposta final.