Questão 5. A respeito das funções exponenciais e logarítmicas, faça o que se pede:
Seja f a função real dada por g(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+1\right). Calcule g(-5)-g(5).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\ln\left(x^{2}-2x+1\right)
e pede para calcular g(-5)-g(5).
Informações relevantes:
  • A expressão dentro do log é x^{2}-2x+1.
  • Vamos avaliar g em x=-5 e em x=5 e subtrair esses valores.
  • Importante: para que g(x) esteja definida, precisamos que o argumento do \ln seja positivo; se necessário eu vou comentar sobre domínio ao longo da resolução.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão quadrática dentro do log. Reconhecemos uma identidade conhecida (quadrado perfeito):
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Explicando rapidinho: expandindo (x-1)^{2} obtemos x^{2}-2x+1, então as duas expressões são iguais para todo x.

Passo 3

Com isso podemos reescrever g(x) de forma mais simples:
g(x)=\ln\big((x-1)^{2}\big).
Uma propriedade útil do logaritmo é que \ln(A)-\ln(B)=\ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right). Outra propriedade é \ln\big(u^{2}\big)=2\ln|u| (válida quando u\neq0), porque o quadrado torna o argumento positivo e o log transforma potência em multiplicação por expoente. Vou usar essas propriedades quando for conveniente.

Passo 4

Agora calculamos g(-5). Substituindo x=-5 em (x-1)^{2} temos
(-5-1)^{2}=(-6)^{2}=36,
portanto
g(-5)=\ln(36).

Passo 5

Calculemos g(5). Substituindo x=5 em (x-1)^{2} temos
(5-1)^{2}=4^{2}=16,
portanto
g(5)=\ln(16).

Passo 6

Agora fazemos a diferença pedida usando a propriedade do logaritmo que transforma diferença em razão:
g(-5)-g(5)=\ln(36)-\ln(16)=\ln\!\left(\frac{36}{16}\right).
Simplificando a fração:
\frac{36}{16}=\frac{9}{4}.
Portanto
g(-5)-g(5)=\ln\!\left(\frac{9}{4}\right).

Passo 7

Opcional — podemos dar uma forma alternativa usando potência:
\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2},
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\ln\!\left(\frac{9}{4}\right)=\ln\!\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)=2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Ambas as formas são equivalentes; escolhi \ln\!\left(\tfrac{9}{4}\right) como resposta final.

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{9}{4}\right)

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