Calcule:
\sqrt{\frac{1-\sqrt{3} i}{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a raiz quadrada de
z = \frac{1 - \sqrt{3}\,i}{2}.
Para isso, vamos usar a forma trigonométrica de números complexos e a fórmula da raiz quadrada em termos de módulo e argumento.

Passo 2

Escrevemos z na forma re^{i\theta}. Calculamos o módulo e o argumento:
r = \left|\frac{1 - \sqrt{3}\,i}{2}\right| = \frac{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1,
\theta = \arg(1 - \sqrt{3}\,i) = \arctan\!\biggl(\frac{-\sqrt{3}}{1}\biggr) = -\frac{\pi}{3}.
Portanto
z = e^{-i\pi/3}.

Passo 3

Para extrair a raiz quadrada, usamos
\sqrt{z} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2} = e^{-i\pi/6} = \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.
Como a raiz quadrada tem duas soluções, a outra é o negativo desse valor:
-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.

Resposta

As raízes quadradas de \displaystyle\frac{1 - \sqrt{3}\,i}{2} são
\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \quad\text{e}\quad -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.

Exercícios relacionados