Sendo 3 i uma das raízes quartas de um número z, determine as outras raízes quartas de z.

Passo 1

O enunciado diz que existe um número complexo z cuja uma das raízes quartas é 3i.
Ou seja, se w é uma raiz quarta de z, então w^4 = z. Aqui temos w_0 = 3i.
Para resolver, vamos usar o fato de que, uma vez conhecido um valor w_0 tal que w_0^4 = z, as quatro raízes de z são
w_k = w_0 \, e^{2\pi i \,k/4},
com k=0,1,2,3.

Passo 2

Primeiro calculamos z a partir de w_0=3i:
z = (3i)^4 = 3^4 \, i^4 = 81 \cdot 1 = 81.

Passo 3

Agora queremos todas as soluções de
w^4 = 81.
Em módulo e argumento, 81 = 81\,e^{i\cdot0}. As raízes quartas têm módulo \sqrt[4]{81}=3 e argumentos
\frac{0 + 2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2},\qquad k=0,1,2,3.

Passo 4

Assim as quatro raízes são
w_k = 3 \, e^{i\pi k/2},\qquad k=0,1,2,3.
Calculando explicitamente:
  • Para k=0: w_0 = 3e^{0} = 3.
  • Para k=1: w_1 = 3e^{i\pi/2} = 3i.
  • Para k=2: w_2 = 3e^{i\pi} = -3.
  • Para k=3: w_3 = 3e^{i3\pi/2} = -3i.

Resposta

As quatro raízes quartas de z são
3,\quad 3i,\quad -3,\quad -3i
e, portanto, as outras (além de 3i) são -3, -3i e 3.

Exercícios relacionados