Sendo
uma das raízes quartas de um número
, determine as outras raízes quartas de
.
Passo 1
O enunciado diz que existe um número complexo
cuja uma das raízes quartas é
.
Ou seja, se é uma raiz quarta de
, então
. Aqui temos
.
Para resolver, vamos usar o fato de que, uma vez conhecido um valor tal que
, as quatro raízes de
são
Ou seja, se
Para resolver, vamos usar o fato de que, uma vez conhecido um valor
com
.
Passo 2
Primeiro calculamos
a partir de
:
Passo 3
Agora queremos todas as soluções de
Em módulo e argumento,
. As raízes quartas têm módulo
e argumentos
Passo 4
Assim as quatro raízes são
Calculando explicitamente:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Resposta
As quatro raízes quartas de
são
e, portanto, as outras (além de
) são
,
e
.