Calcule
e expresse o resultado na forma retangular. Explique como a fórmula de De Moivre se adapta aos expoentes inteiros negativos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
e escrever o resultado na forma retangular (ou seja, com reais). - Explicar como a fórmula de De Moivre se adapta a expoentes inteiros negativos.
Informações dadas no problema:
- A parte real do número complexo é
. - A parte imaginária do número complexo é
. - Pede-se a potência com expoente inteiro negativo
.
Passo 2
Primeiro vamos transformar o número complexo em forma trigonométrica (polar). Para isso precisamos do módulo
e do argumento
.
A fórmula do módulo de um complexo
é
Aqui
e
. Então
Passo 3
O argumento
satisfaz
, mas atenção à quadrante:
e
colocam o ponto no segundo quadrante.
Calculando a tangente:
Um ângulo cuja tangente tem valor
é
. Como estamos no segundo quadrante (onde o seno é positivo e o cosseno é negativo), o argumento é
Passo 4
Agora escrevemos o número na forma trigonométrica (forma de cis):
Passo 5
Recordando a fórmula de De Moivre para
inteiro (positivos primeiro):
válida para
(inteiros). Para entender por que ela vale também para
negativo, use o fato de que a potência com expoente negativo é o recíproco:
Se
, então o inverso é
porque
e
.
Logo tem módulo
e argumento
. Aplicando De Moivre
vezes a
dá
Logo
Isto é consistente com escrever o expoente negativo diretamente na fórmula:
pois para
obtemos
. Em palavras: expoente negativo inverte o módulo (potência negativa) e muda o sinal do argumento.
Passo 6
Aplicando isso ao caso
com
e
:
Calcule
:
Então
Passo 7
Reduza
módulo
para encontrar valores de cosseno e seno:
logo
Portanto
Passo 8
Substituindo em
:
Multiplicando os fatores:
Logo na forma retangular: