Calcule (-\sqrt{3}+i)^{-5} e expresse o resultado na forma retangular. Explique como a fórmula de De Moivre se adapta aos expoentes inteiros negativos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular (- \sqrt{3} + i)^{-5} e escrever o resultado na forma retangular (ou seja, a+bi com a,b reais).
  • Explicar como a fórmula de De Moivre se adapta a expoentes inteiros negativos.
Informações dadas no problema:
  • A parte real do número complexo é -\sqrt{3}.
  • A parte imaginária do número complexo é 1.
  • Pede-se a potência com expoente inteiro negativo -5.

Passo 2

Primeiro vamos transformar o número complexo em forma trigonométrica (polar). Para isso precisamos do módulo r e do argumento \theta.
A fórmula do módulo de um complexo x+iy é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=-\sqrt{3} e y=1. Então
r=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{y}{x}, mas atenção à quadrante: x<0 e y>0 colocam o ponto no segundo quadrante.
Calculando a tangente:
\tan\theta=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Um ângulo cuja tangente tem valor \frac{1}{\sqrt{3}} é \dfrac{\pi}{6}. Como estamos no segundo quadrante (onde o seno é positivo e o cosseno é negativo), o argumento é
\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.

Passo 4

Agora escrevemos o número na forma trigonométrica (forma de cis):
- \sqrt{3}+i = 2\bigl(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr).

Passo 5

Recordando a fórmula de De Moivre para n inteiro (positivos primeiro):
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr),
válida para n\in\mathbb{Z} (inteiros). Para entender por que ela vale também para n negativo, use o fato de que a potência com expoente negativo é o recíproco:
z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}.
Se z=r(\cos\theta+i\sin\theta), então o inverso é
\frac{1}{z}=\frac{1}{r(\cos\theta+i\sin\theta)}=\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta) =\frac{1}{r}\bigl(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr),
porque \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta.
Logo 1/z tem módulo 1/r e argumento -\theta. Aplicando De Moivre n vezes a 1/z
z^{-n}=\bigl(\tfrac{1}{r}\bigr)^{n}\bigl(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)\bigr).
Isto é consistente com escrever o expoente negativo diretamente na fórmula:
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{m}=r^{m}\bigl(\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)\bigr) \quad\text{para todo }m\in\mathbb{Z},
pois para m=-n obtemos r^{-n}(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)). Em palavras: expoente negativo inverte o módulo (potência negativa) e muda o sinal do argumento.

Passo 6

Aplicando isso ao caso m=-5 com r=2 e \theta=\dfrac{5\pi}{6}:
(-\sqrt{3}+i)^{-5}=2^{-5}\bigl(\cos(-5\theta)+i\sin(-5\theta)\bigr).
Calcule 5\theta:
5\theta=5\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{25\pi}{6}.
Então
\cos(-5\theta)=\cos\!\left(-\frac{25\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{25\pi}{6}\right), \qquad \sin(-5\theta)=\sin\!\left(-\frac{25\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{25\pi}{6}\right).

Passo 7

Reduza \dfrac{25\pi}{6} módulo 2\pi para encontrar valores de cosseno e seno:
\frac{25\pi}{6}=4\pi+\frac{\pi}{6},
logo
\cos\!\left(\frac{25\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(\frac{25\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto
\cos\!\left(-\frac{25\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\!\left(-\frac{25\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.

Passo 8

Substituindo em 2^{-5}(\cos(-5\theta)+i\sin(-5\theta)):
(-\sqrt{3}+i)^{-5}=2^{-5}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(-\frac{1}{2}\right)\right) =\frac{1}{32}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right).
Multiplicando os fatores:
\frac{1}{32}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{64}, \qquad \frac{1}{32}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{64}.
Logo na forma retangular:
(-\sqrt{3}+i)^{-5}=\frac{\sqrt{3}}{64}-\frac{i}{64}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{64}-\dfrac{i}{64}

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