Determine as quatro raízes quartas de z=-16. Expresse as raízes na forma polar e esboce-as no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as quatro raízes quartas de z=-16, expressando-as na forma polar, e esboçá‑las no plano complexo.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
  • O número complexo dado é z=-16.
  • Queremos as soluções da equação w^{4}=z, isto é, todos os w\in\mathbb{C} tais que w^{4}=-16.
  • Devemos expressar as raízes na forma polar (módulo e argumento) e posicioná‑las no plano complexo (esboço/descrição).

Passo 2

Entendendo z=-16 em forma polar (aula rápida e concreta).
  • Qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar como \displaystyle z=r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) ou em notação exponencial \displaystyle z=r e^{i\theta}.
  • Aqui r=|z| é o módulo (distância ao origem) e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo).
  • Para z=-16 temos:
    • O módulo é \displaystyle r=|z|=16, porque |-16|=16.
    • O argumento principal é \displaystyle \theta=\pi (pois -16 está no eixo real negativo, a 180^\circ).
  • Logo podemos escrever z em forma polar como
z=16e^{i\pi}.
Observação: ao lidar com argumentos para raízes, é útil lembrar que podemos acrescentar 2\pi k ao argumento sem mudar o mesmo número: z=16e^{i(\pi+2\pi k)} para qualquer inteiro k.

Passo 3

Fórmula geral para as raízes n-ésimas (aula prática).
  • Se z=re^{i\theta} e queremos as n-ésimas raízes, então as soluções são
w_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
  • Explicação do que cada símbolo significa:
    • r^{1/n} é a raiz real positiva do módulo r.
    • (\theta+2\pi k)/n são os argumentos possíveis, obtidos dividindo o argumento total por n e incluindo as voltas múltiplas de 2\pi para gerar todas as raízes distintas.
  • Para n=4 e nosso z=16e^{i\pi}, aplicamos essa fórmula diretamente.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso z=-16.
  • Primeiro calcule o módulo da raiz:
r^{1/4} = 16^{1/4} = (2^{4})^{1/4}=2.
  • Os argumentos são
\frac{\theta+2\pi k}{4}=\frac{\pi+2\pi k}{4}=\frac{\pi(1+2k)}{4},\qquad k=0,1,2,3.
  • Então as quatro raízes em forma exponencial/polar são
w_k = 2\,e^{i\frac{\pi(1+2k)}{4}},\qquad k=0,1,2,3.

Passo 5

Calcular explicitamente cada raiz (transformando os ângulos em formas usuais).
  • Para k=0: w_0 = 2e^{i\frac{\pi}{4}} = 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr).
  • Para k=1: w_1 = 2e^{i\frac{3\pi}{4}} = 2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
  • Para k=2: w_2 = 2e^{i\frac{5\pi}{4}} = 2\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{4}+i\sin\tfrac{5\pi}{4}\bigr).
  • Para k=3: w_3 = 2e^{i\frac{7\pi}{4}} = 2\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{4}+i\sin\tfrac{7\pi}{4}\bigr).

Passo 6

Converter para forma cartesiana (útil para o esboço) e simplificar.
  • Sabendo \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}, e usando as simetrias dos quadrantes:
    • Para w_0: w_0 = 2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2 + i\sqrt2.
    • Para w_1: w_1 = 2\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2 + i\sqrt2.
    • Para w_2: w_2 = 2\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2 - i\sqrt2.
    • Para w_3: w_3 = 2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2 - i\sqrt2.

Passo 7

Verificação rápida (uma raiz, por exemplo).
  • Verificar que w_0^{4}=(2e^{i\pi/4})^{4}=2^{4}e^{i\pi}=16e^{i\pi}=-16. Então funciona; as outras seguem da mesma ideia porque os argumentos diferem por múltiplos de 2\pi/4 e fornecem as quatro raízes distintas.

Passo 8

Esboço e interpretação geométrica (como colocar no plano complexo).
  • Todas as raízes têm módulo 2, então estão sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.
  • Os argumentos são \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}, ou seja, ângulos 45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ.
  • Coordenadas reais e imaginárias correspondentes (já obtidas):
    • w_0=(\sqrt2,\sqrt2)
    • w_1=(-\sqrt2,\sqrt2)
    • w_2=(-\sqrt2,-\sqrt2)
    • w_3=(\sqrt2,-\sqrt2)
  • Visualização: quatro pontos nos vértices de um quadrado centrado na origem, rotacionado 45^\circ em relação aos eixos, com distância 2 à origem. Isso basta para esboçar no plano complexo.

Resposta

2e^{i\frac{\pi}{4}}
2e^{i\frac{3\pi}{4}}
2e^{i\frac{5\pi}{4}}
2e^{i\frac{7\pi}{4}}

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