Determine as quatro raízes quartas de
. Expresse as raízes na forma polar e esboce-as no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as quatro raízes quartas de
, expressando-as na forma polar, e esboçá‑las no plano complexo.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
- O número complexo dado é
. - Queremos as soluções da equação
, isto é, todos os tais que . - Devemos expressar as raízes na forma polar (módulo e argumento) e posicioná‑las no plano complexo (esboço/descrição).
Passo 2
Entendendo
em forma polar (aula rápida e concreta).
- Qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar como
ou em notação exponencial . - Aqui
é o módulo (distância ao origem) e é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). - Para
temos: - O módulo é
, porque . - O argumento principal é
(pois está no eixo real negativo, a ).
- O módulo é
- Logo podemos escrever
em forma polar como
Observação: ao lidar com argumentos para raízes, é útil lembrar que podemos acrescentar
ao argumento sem mudar o mesmo número:
para qualquer inteiro
.
Passo 3
Fórmula geral para as raízes
-ésimas (aula prática).
- Se
e queremos as -ésimas raízes, então as soluções são
- Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a raiz real positiva do módulo . -
são os argumentos possíveis, obtidos dividindo o argumento total por e incluindo as voltas múltiplas de para gerar todas as raízes distintas.
-
- Para
e nosso , aplicamos essa fórmula diretamente.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso
.
- Primeiro calcule o módulo da raiz:
- Os argumentos são
- Então as quatro raízes em forma exponencial/polar são
Passo 5
Calcular explicitamente cada raiz (transformando os ângulos em formas usuais).
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Converter para forma cartesiana (útil para o esboço) e simplificar.
- Sabendo
, e usando as simetrias dos quadrantes: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
- Para
Passo 7
Verificação rápida (uma raiz, por exemplo).
- Verificar que
. Então funciona; as outras seguem da mesma ideia porque os argumentos diferem por múltiplos de e fornecem as quatro raízes distintas.
Passo 8
Esboço e interpretação geométrica (como colocar no plano complexo).
- Todas as raízes têm módulo
, então estão sobre o círculo de raio centrado na origem. - Os argumentos são
, ou seja, ângulos . - Coordenadas reais e imaginárias correspondentes (já obtidas):
-
- Visualização: quatro pontos nos vértices de um quadrado centrado na origem, rotacionado
em relação aos eixos, com distância à origem. Isso basta para esboçar no plano complexo.