Encontre as três raízes cúbicas de z=8 i. Apresente as raízes nas formas polar e retangular.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as três raízes cúbicas de z=8i e apresentar cada raiz nas formas polar e retangular.
Informações dadas relevantes:
  • O número complexo é z=8i, que em coordenadas retangulares é 0+8i.
  • Queremos todos os w tais que w^{3}=z.
    Não se resolve nada neste passo, apenas ficou clara a tarefa e o dado inicial.

Passo 2

Converter z=8i para forma polar (módulo e argumento).
  • Módulo: \displaystyle r=|z|=\sqrt{0^{2}+8^{2}}=\sqrt{64}=8.
  • Argumento: como z está sobre o eixo imaginário positivo, o argumento principal é \displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}.
    Portanto, a forma polar principal de z é \displaystyle z=8\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{2}+i\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr) ou \displaystyle z=8e^{i\pi/2}.
    Comentário rápido sobre argumentos: ao escrever z=re^{i\theta} pode-se sempre usar \theta+2k\pi (mesma direção), porque adicionar 2\pi não muda o ponto no plano complexo.

Passo 3

Apresentar a fórmula geral para as raízes n-ésimas (aqui n=3).
Se z=r e^{i\theta}, então todas as n-ésimas raízes são dadas por
w_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando de forma simples: tirar a raiz do módulo e dividir o argumento por n; o termo 2k\pi gera as n soluções distintas ao espalhá-las uniformemente em torno do círculo.

Passo 4

Aplicar a fórmula com r=8, \theta=\tfrac{\pi}{2} e n=3.
O módulo da raiz é \displaystyle r^{1/3}=8^{1/3}=2.
Os argumentos são
\phi_k = \frac{\pi/2 + 2k\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2.
Logo, as raízes em forma polar são
w_k = 2\,e^{i(\pi/6 + 2k\pi/3)} \quad\text{ou}\quad w_k = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2k\pi}{3}) + i\sin(\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2k\pi}{3})\bigr),
com k=0,1,2. Isso já nos dá as três soluções polares.

Passo 5

Calcular explicitamente cada ângulo e passar para a forma retangular usando valores trigonométricos conhecidos.
  • Para k=0: \displaystyle \phi_0=\frac{\pi}{6} (ou 30^\circ).
    \cos\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.
    w_0 = 2\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{3}+i.
  • Para k=1: \displaystyle \phi_1=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} (ou 150^\circ).
    \cos\!\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.
    w_1 = 2\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2}\bigr)=-\sqrt{3}+i.
  • Para k=2: \displaystyle \phi_2=\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2} (ou 270^\circ).
    \cos\!\tfrac{3\pi}{2}=0, \sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-1.
    w_2 = 2\bigl(0 + i(-1)\bigr)=-2i.
Assim obtemos as três raízes nas formas polar (ângulos \tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}) e retangular (valores explícitos).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): elevar ao cubo uma das raízes, por exemplo w_0=\sqrt{3}+i.
Calcular passo a passo:
(\sqrt{3}+i)^2 = 3 + 2\sqrt{3}\,i + i^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i,
(\sqrt{3}+i)^3 = (2 + 2\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i) = 2\sqrt{3} + 2i + 6i + 2\sqrt{3}\,i^2 = (2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) + 8i = 8i.
Funcionou: (\sqrt{3}+i)^3=8i. As outras duas raízes também elevadas ao cubo retornariam 8i (pelo método da fórmula das raízes).

Resposta

z_1 = 2e^{i\pi/6} = \sqrt{3} + i
z_2 = 2e^{i5\pi/6} = -\sqrt{3} + i
z_3 = 2e^{i3\pi/2} = -2i

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