Encontre as três raízes cúbicas de
. Apresente as raízes nas formas polar e retangular.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as três raízes cúbicas de
e apresentar cada raiz nas formas polar e retangular.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- O número complexo é
, que em coordenadas retangulares é . - Queremos todos os
tais que .
Não se resolve nada neste passo, apenas ficou clara a tarefa e o dado inicial.
Passo 2
Converter
para forma polar (módulo e argumento).
- Módulo:
. - Argumento: como
está sobre o eixo imaginário positivo, o argumento principal é .
Portanto, a forma polar principal deé ou .
Comentário rápido sobre argumentos: ao escreverpode-se sempre usar (mesma direção), porque adicionar não muda o ponto no plano complexo.
Passo 3
Apresentar a fórmula geral para as raízes
-ésimas (aqui
).
Se , então todas as
-ésimas raízes são dadas por
Se
Explicando de forma simples: tirar a raiz do módulo e dividir o argumento por
; o termo
gera as
soluções distintas ao espalhá-las uniformemente em torno do círculo.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
,
e
.
O módulo da raiz é .
Os argumentos são
O módulo da raiz é
Os argumentos são
Logo, as raízes em forma polar são
com
. Isso já nos dá as três soluções polares.
Passo 5
Calcular explicitamente cada ângulo e passar para a forma retangular usando valores trigonométricos conhecidos.
-
Para
: (ou ).
, . -
Para
: (ou ).
, . -
Para
: (ou ).
, .
Assim obtemos as três raízes nas formas polar (ângulos
) e retangular (valores explícitos).
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): elevar ao cubo uma das raízes, por exemplo
.
Calcular passo a passo:
Calcular passo a passo:
Funcionou:
. As outras duas raízes também elevadas ao cubo retornariam
(pelo método da fórmula das raízes).