Exercício 5.3.13 (Polinômio Interpolador: Parte 2). Sejam
x_{1}, \ldots, x_{n} números distintos. Defina
p(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) e defina os polinômios
p_{1}(x), \ldots, p_{n}(x) por
p_{i}(x)=\frac{p(x)}{\left(x-x_{i}\right)}.
a) Mostre que os polinômios
q_{1}(x), \ldots, q_{n}(x) definidos por
q_{i}(x)=\frac{p_{i}(x)}{p_{i}\left(x_{i}\right)} formam uma base para
o espaço de polinômios de grau menor que
n.
b) Se
b_{1}, \ldots, b_{n} são números então o único polinômio
q(x) de grau menor que
n que satisfaz
q\left(x_{1}\right)=
b_{1}, \ldots, q\left(x_{n}\right)=b_{n} é o polinômio
q(x)=b_{1} q_{1}(x)+b_{2} q_{2}(x)+\ldots+b_{n} q_{n}(x)