Exercício 5.3.13 (Polinômio Interpolador: Parte 2). Sejam x_{1}, \ldots, x_{n} números distintos. Defina p(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) e defina os polinômios p_{1}(x), \ldots, p_{n}(x) por p_{i}(x)=\frac{p(x)}{\left(x-x_{i}\right)}.
a) Mostre que os polinômios q_{1}(x), \ldots, q_{n}(x) definidos por q_{i}(x)=\frac{p_{i}(x)}{p_{i}\left(x_{i}\right)} formam uma base para o espaço de polinômios de grau menor que n.
b) Se b_{1}, \ldots, b_{n} são números então o único polinômio q(x) de grau menor que n que satisfaz q\left(x_{1}\right)= b_{1}, \ldots, q\left(x_{n}\right)=b_{n} é o polinômio
q(x)=b_{1} q_{1}(x)+b_{2} q_{2}(x)+\ldots+b_{n} q_{n}(x)

Passo 1

O enunciado trata do polinômio interpolador de Lagrange. Temos n pontos com abscissas distintas x_{1},\dots,x_{n} e definimos
p(x) = \prod_{k=1}^{n}(x - x_{k}), \quad p_{i}(x) = \frac{p(x)}{x - x_{i}}, \quad q_{i}(x) = \frac{p_{i}(x)}{p_{i}(x_{i})}.
Queremos mostrar que os q_{i}(x) formam uma base do espaço \mathcal P_{n-1} dos polinômios de grau menor que n (parte a) e usar isso para obter a forma única do polinômio de interpolação que satisfaz q(x_{j})=b_{j} (parte b).

Passo 2

Vamos primeiro verificar o grau e as propriedades de avaliação de q_{i}(x).
  1. p(x) tem grau n. Dividindo por (x - x_{i}), cada p_{i}(x) tem grau n-1. Como p_{i}(x_{i})\neq0, dividir por esse valor não altera o grau, de modo que
\deg q_{i} = n-1.
  1. Para qualquer j, avaliamos q_{i}(x_{j}). Se j\neq i, então p_{i}(x_{j}) contém o fator (x_{j}-x_{j})=0, logo p_{i}(x_{j})=0 e
q_{i}(x_{j}) = \frac{p_{i}(x_{j})}{p_{i}(x_{i})} = 0.
Se j=i, então p_{i}(x_{i})\neq0 e
q_{i}(x_{i}) = \frac{p_{i}(x_{i})}{p_{i}(x_{i})} = 1.
Portanto
q_{i}(x_{j}) = \begin{cases} 1, & j=i,\\\\ 0, & j\neq i. \end{cases}

Passo 3

Com isso, mostramos que os q_{1},\dots,q_{n} são linearmente independentes em \mathcal P_{n-1}. De fato, se
\sum_{i=1}^{n} a_{i}\,q_{i}(x) \equiv 0
como polinômio, avaliando em x=x_{j} obtemos
0 = \sum_{i=1}^{n} a_{i}\,q_{i}(x_{j}) = a_{j}\cdot1 + \sum_{i\neq j} a_{i}\cdot0 = a_{j},
para todo j. Logo todos a_{j}=0. Como \dim\mathcal P_{n-1}=n, um conjunto de n vetores linearmente independentes é base. Assim os q_{i} formam uma base de \mathcal P_{n-1}.

Passo 4

Agora, dado um vetor de valores (b_{1},\dots,b_{n}), qualquer polinômio q\in\mathcal P_{n-1} satisfazendo
q(x_{j}) = b_{j},\quad j=1,\dots,n
deve ser escrito na base \{q_{i}\}. Seja então
q(x) = \sum_{i=1}^{n} c_{i}\,q_{i}(x).
Avaliando em x=x_{j}
q(x_{j}) = \sum_{i=1}^{n} c_{i}\,q_{i}(x_{j}) = c_{j}\cdot1 + \sum_{i\neq j}c_{i}\cdot0 = c_{j}.
Para que q(x_{j})=b_{j} precisamos de c_{j}=b_{j}. Logo o único candidato é
q(x) = \sum_{i=1}^{n} b_{i}\,q_{i}(x).
A unicidade decorre do fato de que se houvesse outro polinômio de grau <n com as mesmas condições, a diferença seria um polinômio de grau <n com n raízes distintas x_{1},\dots,x_{n}, forçando-o a ser o polinômio zero.

Resposta

\{q_{1},\dots,q_{n}\} é base de \mathcal P_{n-1} e o polinômio interpolador que satisfaz q(x_{j})=b_{j} é
q(x) = b_{1}\,q_{1}(x) + b_{2}\,q_{2}(x) + \cdots + b_{n}\,q_{n}(x).

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