Exercício 5.4.8. Calcule a dimensão do subespaço do \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e \displaystyle v_4=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para determinar essa dimensão, precisamos calcular o posto (rank) do conjunto de vetores, ou seja, verificar quantos deles são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs.

Passo 3

Subtraindo a primeira linha da segunda:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora subtraímos a segunda linha da terceira:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Existem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, portanto o posto de A é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores é 3.

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