Exercício 5.4.8. Calcule a dimensão do subespaço do \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores \left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \displaystyle v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e \displaystyle v_4=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para determinar essa dimensão, precisamos calcular o posto (rank) do conjunto de vetores, ou seja, verificar quantos deles são linearmente independentes.
Passo 2
Montamos a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4: