Calcule:
\sqrt[4]{1-i}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes quartas de 1 - i, ou seja, os números complexos w tais que
w^4 = 1 - i.
O conteúdo principal aqui é usar forma polar de números complexos e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo e o argumento de 1 - i.
O módulo é
r = \bigl|1 - i\bigr| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
O argumento principal \theta satisfaz
\tan(\theta) = \frac{-1}{1} = -1,
então \theta = -\tfrac{\pi}{4}.
Logo podemos escrever
1 - i = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.

Passo 3

Pela fórmula das raízes n-ésimas, as soluções de w^4 = r\,e^{i\theta} são
w_k = r^{1/4}\,e^{i(\theta + 2k\pi)/4}, \quad k = 0,1,2,3.
Aqui r^{1/4} = (\sqrt{2})^{1/4} = 2^{1/8} e
\phi_k = \frac{-\pi/4 + 2k\pi}{4} = -\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo k=0,1,2,3, obtemos as quatro raízes:
w_0 = 2^{1/8}\,e^{-i\pi/16},
w_1 = 2^{1/8}\,e^{\,i(7\pi/16)},
w_2 = 2^{1/8}\,e^{\,i(15\pi/16)},
w_3 = 2^{1/8}\,e^{\,i(23\pi/16)}.

Resposta

\sqrt[4]{1 - i} = 2^{1/8}\,e^{\,i\bigl(-\pi/16 + k\pi/2\bigr)}, \quad k=0,1,2,3.

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