Seja o número complexo z=\cos \alpha+i \operatorname{sen} \alpha calcule o quadrado de z de duas maneiras:
i) Aplicando a propriedade distributiva.
ii) Usando a fórmula de Moivre.
Daí conclua a expressão de \cos (2 \alpha) e \operatorname{sen}(2 \alpha) em função de \cos \alpha e \operatorname{sen} \alpha.

Passo 1

O enunciado define o número complexo
z = \cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha
e pede para calcular z^2 de duas maneiras:
  • aplicando a distributiva em (\cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha)^2,
  • usando a fórmula de Moivre z^n = \cos(n\alpha) + i\,\operatorname{sen}(n\alpha).
    Em seguida, devemos igualar os resultados para obter fórmulas de \cos(2\alpha) e \operatorname{sen}(2\alpha) em função de \cos\alpha e \operatorname{sen}\alpha.

Passo 2

Vamos calcular z^2 pela distributiva:
z^2 = (\cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha)^2 = \cos^2\alpha + 2\,i\,\cos\alpha\,\operatorname{sen}\alpha + i^2\,\operatorname{sen}^2\alpha.
Como i^2 = -1, temos
z^2 = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha \;+\; i\,(2\,\cos\alpha\,\operatorname{sen}\alpha).

Passo 3

Pela fórmula de Moivre, para n=2 vale
z^2 = \cos(2\alpha) + i\,\operatorname{sen}(2\alpha).

Passo 4

Como ambas as expressões representam o mesmo número complexo z^2, igualamos parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:
\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha,
\operatorname{sen}(2\alpha) = 2\,\cos\alpha\,\operatorname{sen}\alpha.

Resposta

\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha,
\operatorname{sen}(2\alpha) = 2\,\cos\alpha\,\operatorname{sen}\alpha.

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