Mesma ideia do exercicio anterior para expressar \cos (3 \alpha) e \operatorname{sen}(3 \alpha) em função de \cos \alpha e \operatorname{sen} \alpha.

Passo 1

O enunciado pede para expressar \cos(3\alpha) e \operatorname{sen}(3\alpha) em função de \cos\alpha e \operatorname{sen}\alpha. Para isso vamos usar as fórmulas de adição de ângulos \cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b e \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b,
além das identidades de ângulo duplo \cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1 e \operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.

Passo 2

Para \cos(3\alpha) aplicamos a soma de ângulos com a=2\alpha e b=\alpha:
\cos(3\alpha)=\cos(2\alpha+\alpha) =\cos(2\alpha)\cos\alpha-\operatorname{sen}(2\alpha)\operatorname{sen}\alpha.
Substituindo as identidades de ângulo duplo:
\cos(3\alpha)=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha -2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\;\operatorname{sen}\alpha =(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\operatorname{sen}^2\alpha\,\cos\alpha.
Como \operatorname{sen}^2\alpha=1-\cos^2\alpha, fica
\cos(3\alpha) =2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha =4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.

Passo 3

Para \operatorname{sen}(3\alpha) usamos a mesma ideia:
\operatorname{sen}(3\alpha)=\operatorname{sen}(2\alpha+\alpha) =\operatorname{sen}(2\alpha)\cos\alpha+\cos(2\alpha)\operatorname{sen}\alpha.
Substituindo
\operatorname{sen}(3\alpha) =2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\cos\alpha+(2\cos^2\alpha-1)\operatorname{sen}\alpha =2\operatorname{sen}\alpha\cos^2\alpha+(2\cos^2\alpha-1)\operatorname{sen}\alpha.
Agrupando termos e usando \cos^2\alpha=1-\operatorname{sen}^2\alpha,
\operatorname{sen}(3\alpha) =4\operatorname{sen}\alpha\cos^2\alpha-\operatorname{sen}\alpha =4\operatorname{sen}\alpha(1-\operatorname{sen}^2\alpha)-\operatorname{sen}\alpha =3\operatorname{sen}\alpha-4\operatorname{sen}^3\alpha.

Resposta

\cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \operatorname{sen}(3\alpha)=3\operatorname{sen}\alpha-4\operatorname{sen}^3\alpha

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