Calcule o subespaço gerado pelos vetores a seguir,
(1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1)]\)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelos vetores \,(1,-1,0),\;(1,0,-1),\;(1,1,1)
Este é um problema de espaços gerados (span) em \mathbb{R}^3. Para saber qual é esse subespaço, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes ou não.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são os vetores dados e calculamos o determinante para testar independência linear:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) =1\bigl(0\cdot1 -(-1)\cdot1\bigr) -(-1)\bigl(1\cdot1 -(-1)\cdot1\bigr) +0\cdot(\dots) =1\cdot1 +1\cdot2 =3\neq0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, os três vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Três vetores independentes em \mathbb{R}^3 formam uma base de \mathbb{R}^3, portanto o span deles é todo o espaço.

Resposta

O subespaço gerado por \,(1,-1,0),\;(1,0,-1),\;(1,1,1) é \mathbb{R}^3.

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